Matematik induksiya metodi

MATEMATIK INDUKSIYA METODI
Matematik induksiya metodi matematikaning turli tuman xatto bir-biridan juda olis sohalarida muvaffaqiyat bilan keng qo’llaniladigan metoddir. Avvalo bu metod o’zining juda sodda bo’lgan g’oyasi bilan e’tiborga sazovordir. Bu metod orqali ayniyatlarni isbotlash va yig’indi hamda ko’paytmalarni hisoblash mumkin.
Demak turli hil ayniyatlarni isbotlashda matematik induksiya metodini qo’llab isbotlangan misollar ko’rib chiqaylik.

1. 
   misol.
   

Matematik induksiya metodidan foydalanib ushbu ayniyatni isbotlash kerak bo’lsin.
1+2+3+…+n=
Bu yerda va bundan keyin misoldagi tasdiqni A(n) deb belgilaymiz.

1. 
   n=1 uchun 1= demak A(1) to’g’ri
   
2. 
   n=k uchun 1+2+3+…+k= deb faraz qilib,
   

n=k+1uchun 1+2+3+…+k+(k+1)= ni isbot qilamiz.

1+2+3+…+k+(k+1)=

Demak, 1+2+3+…+n= dan iborat tasdiq har qanday n natural son uchun to’g’ri deb hulosa chiqaramiz.

2-misol. (Qiziqarli masala). Bir boy dehqonning otini sotib olmoqchi bo’ldi, lekin otning 1000 so’mlik bohosi unga ko’p ko’rindi. Shunda dehqon boyga otning taqqalaridagi mixlarni arzon bahoga sotib olishni, otni esa sovg’a sifatida olib ketishni taklif qildi va mixlarning birinchisiga 1 tiyin, ikkinchisiga 2 tiyin, uchinchisiga 4 tiyin, to’rtinchisiga 8 tiyin va hakazo, har bir keying mixga avvalgisidan ikki baravar ko’p to’lashni so’radi. Boy bu shartga rozi bo’ldi. Har bir taqada 6 ta mix bor. Boy otni necha so’mga sotib olgan?

Yechilishi.
Boy sotib olishi kerak bo’lgan mixlar 24 ta. Mixlarga to’langan pullarni yo-zaylik:

Bu sonlarni quyidagicha ham yozish mumkin:

Bu qatorni ko’zdan kechirsak k mixga tiyin to’laganligini sezamiz. Barcha mixga to’lgan pul:

Ushbu yig’indini hisoblaylik:

Bugeometrikprogressiyantahadiningyig’ondisinitopishformulasigaaso-santopsakhambo’ladi, lekinbizyuqoridagidekinduktivyo’lbilangipotezatuzibkeyinuniisbotlaymiz.
Nga 1,2,3,4,5 qiymatlarnibersak,

Hosil bo’lgan sonlarni 2 ning darajalari bo’yicha yozaylik:

Bulardan ushbu gipotezani aytish mumkin:
(1)
1. gipoteza to’g’ri.
2. o’rinli bo’lsin deb, da bo’lishini isbotlaylik.
Haqiqtdan ham,

tenglik hosil bo’ladi.
Demak (1) o’rinli. Buni ot savdosiga qo’llasak, tiyin yoki 167772 so’m 15 tiyin yani ot bahosidan 150 martadan ham ko’p pul to’lagan.
1.Isbot kilinayotgan tasdik n=1 uchun tekshiriladi. To’g’riligiga ishonch hosil qilingandan so’ng 2 chi etapga o’tiladi.
2.Shu tasdiqni n=k uchun to’g’ri deb olib, 3 chi etapga o’tiladi.
3.Tasdiqn=k+1 uchun to’g’ri ekanligi isbot qilinadi.
Bu metodning qo’llanishiga doir misol qaraymiz.
3-misol.Birinchi n ta toq natural sonlarning yig’indisini toping.
Yechilishi. Izlanayotgan yig’indi bo’lsin:
ga teng ketma-ket 1,2,3,4,… qiymatlar berib, ning mos qiymatlarini topaylik:

Hosil bo’lgan sonlarni kuzatib biror qonuniyat topishga harakat qilaylik. Ularni quyidagicha yozish mumkinligini ko’rish mumkin.

Hosil bo’lgan sonlarga qarab ushbu gipotezani aytish mumkin: birinchi n ta toq natural sonlar yig’indisa uchun

bu gipotezani isbotlaylik:
1. da gipoteza to’gri.
2. uchun o’rinli bo’lsin deb da bo’lishini ko’rsatamiz.
Demak, gipoteza o’rinli.

4-misol.

Tennis sharlari piramida shaklida taxlangan. Ustki qavatda 1 ta, pastki ikkinchi qavatda 4 ta undan pastda 9 ta va hakoxo, eng pastdagi n- qavatda shar bor. Piramidani buzmay nechta shar borligini toping.
Yechilishi.
(2)
Yuqoridagi masalalardagidek induktiv yo’l bilan borib ushu gipotezani tuzish mumkin.
(3)

1. 
   gipoteza o’rinli.
   
2. 
   gipoteza o’rinli bo’lsin, ya’ni
   

bo’lganda


Bo’lishini isbotlaymiz.
(2) da bo’lsin deb induktiv farazni e’tiborga olsak:

Demak, (3) uchun to’g’ri. (2) yig’indini eramizgacha yashagan Arhimed hisoblagan.
5-misol.
yig‘indini hisoblаng.
Yechilishi. Аvvаl bittа, ikkitа, uchtа, to‘rttа qo‘shiluvchilаr uchun yig‘indini hisoblаymiz (induksiya – lotinchа bo‘lib, “hosil qilish”, “yarа-tish” ni аnglаtаdi).




Hаr bir yig‘indini surаti qo‘shiluvchilаr sonigа teng bo‘lib, mаxrаji undаn bittа kаttа. Bu hаr qаndаy n uchun tаxmin qilish imkonini berаdi. Bu tаxminning to‘g‘riligini tekshirishgа mаtemаtik induksiya usulini qo‘llаymiz.

1. 
   n=1 bo`lganda tаxmin to‘g‘ri, yani,
   
2. 
   n=k dа deb tаxmin qilib, n=k+1 uchun bu tаxminning to‘g‘riligini tekshiramiz.
   

Shundаy qilib, n=k uchun to‘g‘riligini fаrаz qilgаn holdа, uni n=k+1 hol uchun isbot qildik, yani formulа bаrchа nаturаl n uchun to‘g‘ri.
6-misol. Quyidagi tenglikni isbotlang :
, buyerda
Yechish : 1) n=1 da tekshiramiz

2) Qaysidirnaturalk –uchun n=k da tenglik o`rinli deb ,n=k+1 uchun
bo`lishini isbotlaymiz
Haqiqatan
Demak,А(k)A(k+1)o`rinli.Matematik induksiya prinsipiga
asosan , buyerda ixtiyoriy n da o`rinli. Matematikinduksiyayordamidaayniyatlarvatengsizliklarnihamisbotlashmumkin: A(n)=V(n)ayniyatniisbotlashuchunoldinA(1)=V(1)ekanigaishonchhosilqilish , so’ngA(n+1)-A(n)=B(n+1)-B(n)yeki ayniyatniisbotqilishkerakbo’ladivaxulosachiqariladi.
Demak, matematik induksiya metodi orqali biz ayniyatlarni isbotlashimiz, yig’indilarni hisoblashimiz va ko’paytmalarni hisoblashimiz mumkin ekan.