Matematik fizika tenglamalarining fundamental yechimlari

(x, t) nuqtalarning fazosida xarakteristik konus va t=0 gipertekislik bilan chegaralangan D sohani tekshiramiz. Bu sohaning ichida yoki chegarasida ixtiyoriy nuqta olib, xarakteristik konus hosil

qilamiz (2.1.1-chizma)

2.1.1-chizma.(xarakteristik konus)

Bu yangi konus va t = 0 gipertekislik bilan chegaralangan sohani G orqali belgilaymiz. G soha t = 0 gipertekislikda avvalgi sharning bir qismi bo’lgan shar bilan chegaralangan. Bu yangi sharda (2.1.6) shartlar o’rinli bo’ladi. (2.1.5) tenglamaning har ikki tomoni ga ko’paytirib , hosil bo’lgan tenglikni G soha buyicha integrallaymiz:

Ushbu

ayniyatlarni e’tiborga olib, avvalgi tenglikni bunday yozib olamiz:

Bu integralga Gauss – Ostrogradskiy formulasini qo’llab,

(2.1.7)

tenglikni xosil qilamiz. Bu yerda G soha chegarasining elementi ds orqali belgilab olindi. (2.1.6)boshlang’ich shartlarga asosan Q sharda ayniyatlar bajariladi. Oxirgi ayniyatni o’zgaruvchi bo’yicha differensiallab, Q sharda

ayniyatni hosil qilamiz.

Demak (2.1.7) tenglikda Q shar bo’yicha olingan integral nolga aylanib, quyidagi tenglikka ega bo’lamiz:

Bu tenglikning har ikki tomonini o’zgarmas ga ko’paytiramiz va (2.1.3) munosabatni e’tiborga olib,

yoki

tenglikni hosil qilamiz. Bundan K konusda

tenglik kelib chiqadi.

Demak,

.

Agar K konus ixtiyoriy yasovchisining yo’nalishini l orqali belgilasak, oldingi tenglikka asosan,

tenglikka ega bo’lamiz, chunki konusning yasovchisi konus sirtiga o’tkazilgan normal bilan hamma vaqt to’gri burchak tashkil qilgani uchun cos (n,l) = 0 .

Bundan K konusning ixtiyoriy yasovchisida u = const ekanligi kelib chiqadi. Jumladan, u(x,t) funksiyaning konusning uchidagi qiymati, l yasovchisining