Matematik fizika tenglamalarining fundamental yechimlari

2.1.1-teorema.

Doimiy koeffisientli operator quyidagi Adamar shartini:

(i=1,2,…)

Bu yerda (𝛏) (i=1,2,….m) quyidagi

xarakteristik tenglama ildizlarini qanoatlantirsin.Agar

u vaqtda quyidagi

funksiya fazoda tenglama va da vektorga mos boshlang’ich sharlarni qanoatlantiradi ushbu teoremadan quyidagi lemma kelib chiqadi.

2.1.1-lemma Agar 2.1.1-teoremaning sharti bajarilsa va bo’lsa u holda quyidagi

funksiya E fazoga tegishli bo’lib, tenglama uchun boshlang’ich shartli Koshi masalasining yechimi bo’ladi.

teoremaga asosan. bo’lsa u holda quyidagi formula



tenglamaning quyidagi boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi

Yechimi bo’ladi.

Quyidagi tenglik o’rinli

2.1.10.tenglamaning quyidagi shartni qanoatlantiruvchi yechimi

Ushbu natijadan foydalanib quyidagi teoremani isbotlash mumkin.

2.1.2-teorema . Ixtiyoriy boshlang’ich shartda



(2.1.12) tenglamaning ixtiyoriy o’ng tomoni uchun (2.1.12) tenglamaning yagona yechimi mavjud:

Bu yerda (2.1.13) formula bilan aniqlanib taqsimot. Aniqrog’i t>0 da, bu taqsimot quyidagi ko’rinishga ega:

1. 
   Agar n=1 bo’lsa u holda
   

2. 
   Agar n=2 bo’lsa, u holda
   

3. 
   Agar n=3 bo’lsa, u holda
   

Isbot. ni isbotlaymiz

Ushbu

tenglikdan quyidagini olamiz.

a= bo’lganda 2 o’lchovli Furye obrazining xususiy holi bo’ladi. Endi ni isbotlaymiz.

Bunda ekanligini inobatga olamiz. U vaqtda

2-qo’shiluvchi da 0 ga intiladi. 1- qo’shiluvchi esa va t>0 ga intiladi. Shu sababli

tengliklardan foydalanib, (2.1.13) yechimini t>0 da oshkor ko’rinishda ifodalash mumkin (bir jinsli tenglama uchun).

Endi formuladan ko’p o’lchov bo’lgan holda oshkor ifodasini topamiz. Bu holda taqsimot bo’ladi.

Haqiqatan n – toq son bo’lsin, . U holda

Bu ifodani aniqroq quyidagi ko’rinishda yozamiz:

Shunga o’xshash agar n- juft son bo’lsa, n=2p quyidagini hosil qila olamiz:

Bu yerda max(a,0) p1 Adamar ma’nosida chekli qism.Biz quyidagini olamiz:

2.1.1-teoremaning natijasiga asosan umumiy holda doimiy koeffisientli giperbolik tenglama uchun Koshi masalasini yechimini topishda R₀,…R_m-1 funksiyalarni topish yetarli R₀,…R_m-2larni tenglikdan osongina topish mumkin. E_x(t) funksiya tenglama uchun Koshi masalasining fundamental(yoki elementar ) yechimi deyiladi, agar E_x(t) (t>0) funksiya to’lqin tenglamasini va quyidagi boshlang’ich shartlarni qanoatlantirsa:

Fundamental yechimni topishda 2.1.1-teoremadan foydalandik.

2.2. Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining fundamental yechimi.

Quyidagi Koshi masalasini qarab chiqaylik:

sohada shunday chegaralangan funksiyani topingki, u issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini

(2.2.1)

va quyidagi boshlang‘ich shartni qanoatlantirsin:

. (2.2.2)

Ushbu masalaning trivial bo‘lmagan yechimini quyidagi ko‘paytma ko‘rinishida qidiramiz:

(2.2.3)

(2.2.3) ni (2.2.1) ga keltirib qo‘yib:

ifodani olamiz.

Bu yerda - ajratish parametri. Bundan:

, (2.2.4)

, (2.2.5)

(2.2.4) va (2.2.5) ni yechib, (2.2.1) tenglamaning quyidagi ko‘rinishdagi xususiy yechimlarini topamiz;

, (2.2.6)

Bu funksiyalar chegaralanganlik shartini qanoatlantiradi. Bu yerda - ixtiyoriy haqiqiy son, shuning uchun biz “+” ishorasini olib, quyidagi funksiyani hosil qilamiz:

(2.2.7)

t=0 da boshlang’ich shartning bajarilishini talab qilamiz:

(2.2.8)

Endi Furye integralini teskari almashtirish formulasidan foydalanamiz:

(2.2.9)

(2.2.9) ni (2.2.7) ga qo‘yib va integrallash tartibini o’zgartirib quyidagi ifodani olamiz:

(2.2.10)

(2.2.10) ifodadagi ichki integral

(2.2.11)

(2.2.11) ni (2.2.10) ga qo‘yib qidirilayotgan yechimning integral ko‘rinishini olamiz:

(2.2.12)

bu yerda

. (2.2.13)

(2.2.13) formula bilan aniqlanadigan funksiyani ko‘pincha issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasining fundamental yechimi ham deydilar.

Ushbu funksiya

1) issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini qanoatlantiradi. (tekshiramiz)

2) Har qanday va t>0 o‘zgaruvchilar uchun
(2.2.12) fomulaga Puasson integrali yoki Puasson formulasi ham deyiladi.

Bir jinsli bo‘lmagan tenglama

va quyidagi nol boshlang‘ich shartni

.

qanoatlantiradigan yechim quyidagi formula bilan aniqlanadi:

(2.2.14)