Matematik fizika tenglamalarini sonli yechishda parallel hisoblashlar

Ellipsning kanonik tenglamasi va asosiy elementlari

Agar 𝑎 < 𝑏 bo’lsa, u holda ellipsning fokuslari 𝑂𝑦 o’qda yotadi, 2𝑏 uning katta o’qi, ekssentrisiteti esa 𝜀 = 𝑐/𝑏 bo’ladi, bunda 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2. Direktrisalari tenglamalari
𝑦 = ±
𝑏
𝜀
= ±
𝑏
𝑐
Agar 𝑎 = 𝑏 bo’lsa, ellips radiusi a, markazi koordinatalar boshida bo’lgan
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2 aylanadan iborat bo’ladi.

Ellipsning kanonik tenglamasi va asosiy elementlari

Misol.
5
1. Koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lgan va 𝐴 3; − 16 va 𝐵 −4; − 12
5
nuqtalardan o’tuvchi ellips tenglamasini tuzing.

• A nuqtadan fokuslargacha bo’lgan masofalarni toping.
• Ellipsning ekssentrisitetini toping.
• Ellipsning direktrissa tenglamalarini tuzing.
• Grafigini yasang.

Ellipsning kanonik tenglamasi va asosiy elementlari

Yechish.
2 2
1. A va B nuqtalarning koordinatalarini 𝑥 + 𝑦 = 1 ellips tenglamasiga qo’yib, a va
𝑎2 𝑏2
b parametrlarni topamiz:
𝑎2
32 +
16
− 5
2
𝑏2
= 1
42 +
12
− 5
2
𝑎2 𝑏2
= 1
yoki
9
൞𝑎2
+
256
25𝑏2
= 1
16 144
𝑎2 + 25𝑏2 = 1
Birinchi tenglamani 16 ga, ikkinchisini 9 ga ko’paytirib, hosil bo’lgan natijalarni qo’shgandan so’ng quyidagiga ega bo’lamiz:
175𝑏2 = 2800.
𝑏 > 0 ekanligini hisobga olib 𝑏 = 4, va undan kelib chiqadigan 𝑎 = 5 ga ega bo’lamiz.

Ellipsning kanonik tenglamasi va asosiy elementlari

Yechish.
Ellipsning kanonik tenglamasini topdik:
𝑥2 𝑦2
25 16
+ = 1.
2. Fokus masofasi: 𝑐 = 𝑎2 − 𝑏2 = 25 − 16 = 3.
3
3. Ekssentrisitet 𝜀 = = 0,6 ga teng.
5
4. A nuqtadan fokuslargacha bo’lgan masofalar:
𝑟1 = 5 + 0,6 ∙ 3 = 6,8;
𝑟2 = 5 − 0,6 ∙ 3 = 3,2.
5. Direktrissa tenglamalari: 𝑥 = −
5
0,6
3
, ya’ni 𝑥 = − 25 (chap);
3
𝑥 = 25 (o’ng)