Математик анализга кириш Функциянинг нуқтадаги лимити. Ажойиб лимитлар Функциянинг узлуксизлиги

3. Функция графигининг асимптоталари.
Таъриф 6. функция графигининг асимптотаси деб шундай тўғри чизиққа айтиладики, графикнинг нуқтаси координаталар бошидан чексиз узоқлашганда, бу нуқтадан тўғри чизиққача бўлган масофа нолга интилади.
Функциянинг вертикал, горизонтал ва қия асимптоталари мавжуд.

Функция графигининг асимптоталарини топиш қуйидаги тасдиқларга асосланади.

Теорема 14. функция бирор нуқтанинг аниқланган бўлиб, функциянинг ҳеч бўлмаганда чапдан ва ўнгдан лимитлари чексизликка тенг
ёки бўлса, у ҳолда тўғри чизиқ функция графигининг вертикал асимптотаси бўлади.
Агар функция бирор нуқтада узлуксиз бўлса, у вертикал асимптота бўла олмайди, чунки бўлади. Демак, функциянинг нуқтадаги вертикал асимптотаси, унинг узилиш нуқталарида бўлар экан.
Теорема 15. функция нуқтанинг етарли катта қийматларида аниқланган бўлиб, функциянинг чекли лимити мавжуд бўлса, у ҳолда тўғри чизиқ функция графигининг горизонтал асимптотаси бўлади.
Агар ёки лимитлардан фақат бири чекли бўлса, у ҳолда функция чап томонли ёки ўнг томонли горизонталь асимптоталарга эга бўлади.
Агар бўлса, функция қия асимптотага эга бўлади.
Теорема 16. функция нуқтанинг етарли катта қийматларида аниқланган бўлиб, функциянинг чекли лимитлари ва мавжуд бўлиб, бўлса, у ҳолда тўғри чизиқ функция графигининг қия асимптотаси бўлади.
Мисол 14. функция графигининг асимптотасини топинг.
Ечиш. Функция графигининг вертикал асимптотаси мавжуд эмас, чунки унинг узилишга эга нуқталари мавжуд эмас. Горизонтал асимптотаси ҳам мавжуд эмас, чунки . Қия асимптотасини аниқлаймиз.
;
.
Демак, графикнинг қия асимптотаси дан иборат бўлар экан.
Мисол. Функция графигининг асимптотасини топинг .
Ечиш. Вертикал асимптоталар абсциссалар ўқини нуқталарда кесиб ўтади. (чап томонлама) ва (ўнг томонлама) ларда функциянинг лимитлари чексиз, яъни ва , у ҳолда тўғри чизиқ вертикал асимптота бўлади.
Мисол. Функция графигининг асимптотасини топинг .
Ечиш. Функциянинг чексизликдаги ҳолатини аниқлаймиз
.
Функция тоқ бўлганлиги учун , яъни тўғри чизиқ горизонтал асимптота бўлади.