Matematik analiz fanidan

Г(a) funksiya uchun quyidagi

Г(a+1)=aГ(a) (a>0)

fo’rmula o’rinli.

Isbot: Haqiqatdan ham,

Integralni bo’laklab integrallasak,

bo’lib, undan

bo’lishi kelib chiqadi.

Beta va gamma funksiyalar orasidagi bog’lanish

Biz quyida va funksiyalar orasidagi bog'lanishni ifodalaydigan formulani keltiramiz. Ma'lumki, funksiya da, funksiya esa fazodagi to'plamda berilgan.

1-teorema. uchun



formula o'rinlidir.

Isbot: Ushbu gamma funksiyada o'zgaruvchini almashtiramiz:



Natijada



bo'ladi.

Keyingi tenglikdan quyidagini topamiz:



Bu tenglikning har ikki tomonini ga ko'paytirib, natijani oraliq bo'yicha integrallaymiz:



Agar



ekanini e'tiborga olsak, unda

(3)

bo’ladi. Endi (3) tenglikning o’ng tomonidagi integral Г(a) Г(b) bo’lishini isbotlaymiz.

Dastlab, a>1, b>1 bo'lgan holni ko'raylik. da, ya'ni to'plamda integral ostidagi



funksiya da uzluksiz bo'lib,

bo'ladi.

Ushbu



integral t o'zgaruvchining oraliqda uzluksiz funksiyasi bo'ladi, chunki



Ushbu



integral o'zgaruvchining oraliqda uzluksiz funksiyasi bo'ladi, chunki

va nihoyat, yuqoridagi (3) munosabatga ko’ra,

integral yaqinlashuvchi.

U holda



integral ham yaqinlashuvchi bo'lib,



bo'ladi. O'ng tomondagi integralni hisoblaymiz:

Natijada



ya'ni

(4)

bo'lishi kelib chiqadi. Biz bu formulani bo'lgan hol uchun isbotladik. Endi umumiy holni ko'raylik.

Aytaylik, bo'lsin. U holda isbot etilgan (4) formulaga ko'ra

(5)

bo'ladi. va funksiyalarning xossalaridan foydalanib quyidagini topamiz:





Natijada (5) formula quyidagi ko'rinishga keladi.



Bu esa (4) formula da ham o'rinli ekanini bildiradi.

1-natija: uchun



bo’ladi.

Isbot:Haqiqatdan ham, (4) formula b=1-a 0



bo'lib, va munosabatlarga muvofiq

bo’lishini topamiz.