Matematik analiz fanidan



Download 0,59 Mb.
bet2/4
Sana31.12.2021
Hajmi0,59 Mb.
#239307
1   2   3   4
Bog'liq
kursishi

Asosiy qism.

Beta funksiya va uning xossalari.

Ma’lumki, ushbu



(1)

Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali a>0,b>0 ya’ni



to’plamda yaqinlashuvchi. Ayni paytda bu integral a va b parametrlarga ham bog’liq.



1-ta’rif. (1) integral beta funksiya yoki I-tur Eyler integrali deb ataladi va B(a,b) kabi belgilanadi, demak,

.

Shunday qilib, B(a,b) funksiya fazodagi to’plamda berilgandir.

Endi B(a,b) funksiyaning xossalarini o’rganaylik.


  1. (1) integral

ixtiyoriy to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.



Isbot: Berilgan integralni tekis yaqinlashuvchilikka tekshirish uchun uni quyidagicha

= +

yozib olamiz. Ravshanki, a>0 bo’lganda integral yaqinlashuvchi, b>0 bo’lganda integral yaqinlashuvchi. Parametr qiymatlari va



uchun

bo’ladi. Veyershtrass alomatidan foydalanib, integralning tekis yaqinlashuvchi ekanini topamiz.

Shuningdek, parameter b ning qiymatlari va uchun

bo’ladi va Yana Veyershtrass alomatiga ko’ra integralning tekis yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.

Demak, integral va bo’lganda, ya’ni

to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.



  1. B(a,b) funksiya to’plamda uzluksiz

funksiyadir.

Isbot: Haqiqatdan ham,

Integralning to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lishidan va integral ostidagi funksiyaning da uzluksizligidan B(a,b) funksiya



to’plamda uzluksiz bo’ladi.



  1. uchun B(a,b)=B(b,a) bo’ladi.

Isbot: Darhaqiqat integralda x=1-t almashtirish bajarilsa, unda

= =B(b,a)

bo’lishini topamiz.



  1. B(a,b) funksiya quyidagicha ham ifodalanadi:



Isbot: Haqiqatdan ham, (1) integralda almashtirish bajarilsa, u holda

bo’ladi.


  1. ( ) uchun

bo’ladi.


Isbot: (1) integralni bo’laklab integrallaymiz:

Agar ekanligini e’tiborga olsak, u holda



bo’lib, natijada



bo’ladi. Bu tenglikdan esa



(a>0,b>1)

bo’lishini topamiz.

Xuddi shunga o’xshash ( )

bo’ladi.


Gamma funksiya va uning xossalari

Bizga

(2)

xosmas integral berilgan bo’lsin.

2-ta’rif: (2) integral gamma funksiya yoki II-tur Eyler integrali deb ataladi va Г(a) kabi belgilanadi. Demak,





Shunday qilib, Г(a) funksiya oraliqda berilgandir. Endi Г(a) ning xossalarini o’rganaylik.

  1. (2) integral



Ixtiyoriy oraliqda tekis yqainlashuvchi bo’ladi.

Isbot: (2) integralni quyidagi ikki qismga ajratib,



ularning har birini alohida-alohida tekis yaqinlashuvchilikka tekshiramiz.

Agar sonini olib, parameter a ning qiymatlari qaralsa, unda barcha uchun bo’lib, veyershtrass alomatiga ko’ra



integral tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

Agar sonni olib, parameter a ning qiymatlari qaraladigan bo’lsa, unda barcha uchun



bo’lib, integralning yaqinlashuvchiligidan yana veyershtrass alomatiga ko’ra

integral tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.



  1. Г(a) funksiya da uzluksiz hamda barcha tartibdagi uzluksiz

hosilalarga ega va

(n=1,2,…)

Isbot: nuqatni olaylik. Unda shunday oraliq topiladiki, bo`ladi.

Ravshanki,



Integral ostidagi funksiya to’plamda uzluksiz funksiyadir. (2) integral esa da tekis yaqinlashuvchi. U holda Г(a) funksiya da, binobarin a nuqtada uzluksiz bo’ladi.

(2) integral ostidagi funksiya

Hosilasining M to’plamda uzluksiz ekanligini payqash qiyin emas.

Endi



Integralni da tekis yaqinlashuvchi bo’lishini ko’rsatamiz.

Ushbu integral ostidagi funksiya uchun o da tengsizlik o’rinlidir. funksiya da chegaralanganligidan va integralning yaqinlashuvchiligidan ning ham yaqinlashuvchi bo’lishini va Veyershtrass alomatiga ko’ra qaralayotgan integralning tekis yaqinlashuvchiligini topamiz.

Shunga o’xshash quyidagi



integralda, integral ostidagi funksiya uchun barcha da





bo’lib, integralning yaqinlashuvchiligidan, yana Veyershtrass alomatiga ko’ra integralning tekis yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Demak, da integral tekis yaqinlashuvchi. Unda



bo’ladi va da binobarin, a nuqtada uzluksizdir.

Xuddi shu yo’l bilan Г(a) funksiyaning ikkinchi, uchinchi va hokazo tartibdagi hosilalarining mavjudligi, uzluksizligi hamda



(n=1,2,3,…)

bo’lishi ko’rsatiladi.




  1. Download 0,59 Mb.

    Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish