Matematik analiz fanidan “Oshkormas funksiyalar va ularning hosilalari” mavzusidagi kurs ishi ilmiy rahbar

2.2-§.Oshkormas funksiyaning yuqori tartibli xususiy hosilalari.
Faraz qilaylik,

tenglama nuqtaning atrofida oshkormas ko’rinishdagi funksiyani aniqlasin. Agar funksiya da uzlukiz , xususiy hosilalarga ega bo’lsa, oshkormas ko’rinishdagi funksiya uzluksiz hosilaga ga bo’lib,
( 7)
bo’ladi.
Endi funksiya da uzlukiz ikkinchi tartibli , , xususiy hosilalarga ega bo’lsin. ning ga bog’liqligini e’tiborga olib, (7) tenglikni bo’yicha differensiallab quyidagini topamiz:

Agar
(8)

ekanligini hisobga olsak, unda

bo’ladi. Bu ifodadagi ning o’rniga uning qiymati ni qo’yib, oshkormas ko’rinishdagi funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uchun quyidagi formulaga kelamiz:

Huddi shu yo’l bilan oshkormas funksiyaning uchunchi va hokazo tartibli hosilalari topladi.
Eslatma. Ushbu

tenglama bilan aniqlangan oshkormas ko’rinishdagi funksiyaning yuqori tartibli hosilalarini quyidagicha ham hisoblasa bo’ladi.
ni differensiallab

bo’lishini topgan edik. Buni yana bir marta differensiallaymiz:

tenglikka kelamiz. Undan esa

bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglikdagi ning o’rniga uning qiymati ni qo’ysak, unda

bo’ladi.
Misol. Ushbu

ni differensiallab

bo’lishini topgan edik. Buni yana bir martta differensiallab topamiz:

Bundan esa

bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglikdagi ni o’rniga uning qiymati

ni qo’yib, oshkormas funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz.