Математического и компьютерного моделирования является наиболее актуальной на данный момент

Компьютерное моделирование

Краткая информация о компьютерном моделировании

Компьютерное моделирование широко используется как средство познания действительности, проектирования и обучения. Программные средства для моделирования можно разделить на две группы.
К первой относятся пакеты, предназначенные для решения сложных промышленных и научно-исследовательских задач большими производственными или научными коллективами. В таких проектах ведущую роль играет организация работ: хорошо налаженное взаимодействие между отдельными группами, быстрый доступ к многочисленным экспериментальным данным и библиотекам программ, тщательное документирование и тестирование, многовариантные расчеты. При этом обычно используются хорошо изученные модели, которые лишь модифицируются и приспосабливаются для решения конкретных задач. В некотором смысле это относится и к большим научным проектам, когда успех во многом предопределен предварительными исследованиями, но для получения окончательных результатов требуется хорошо скоординированная совместная работа. Пакеты первой группы условно называются промышленными.
Однако такие проекты невозможны без предварительных исследований, выполняемых отдельными учеными или проектировщиками. Стартовой точкой в них является гипотеза, а основной задачей - ее проверка. Исходным материалом служат плохо формализованные модели, то есть модели, чьи свойства еще не вполне осознаны. В самом начале исследований обычно ничего другого предложить невозможно, кроме как двигаться вперед на ощупь, практически без плана, формируя его по мере накопления материала. Главное - пробовать и видеть отклик. Это означает, что необходимо уметь организовывать и поддерживать непрерывную обратную связь между исследователем и исследуемой моделью. Аналогичная задача возникает и при обучении, когда необходима обратная связь между обучающей программой и учеником, или когда учитель прямо на занятии с помощью модели объясняет суть явления.
С момента появления пакета Simulink универсальные, не ориентированные на конкретные прикладные области пакеты для моделирования и исследования динамических систем в широком понимании этого термина, включая и дискретные, и непрерывные, и гибридные модели, стали повседневной реальностью. Относительная простота и интуитивная ясность входных языков универсальных пакетов в сочетании с разумными требованиями к мощности компьютеров позволяют использовать эти пакеты в учебном процессе.
Изучаемые с помощью универсальных пакетов модели можно условно разделить на модели для естественнонаучных областей и модели технических объектов. В первом случае мы обычно имеем дело с моделью, сведенной к одной, итоговой системе уравнений, или, другими словами, с однокомпонентной моделью, а во втором - со структурированной, многокомпонентной моделью, итоговая система для которой должна строиться автоматически по описанию отдельных компонент.
И среди однокомпонентных, и среди многокомпонентных, наибольший интерес представляют модели, чье поведение меняется во времени в зависимости от наступающих событий. Их часто называют гибридными системами. В отечественной литературе также используются синонимы - непрерывно-дискретные, системы с переменной структурой, реактивные, событийно-управляемые. Еще недавно единственным способом изучения гибридных систем было исследование их отдельных фаз или режимов и «склеивание» общего поведения вручную, подобно тому, как мы склеиваем панораму из отдельных фотографий. Теперь появилась возможность моделировать глобальное поведение таких объектов [4].
Под гибридными системами понимаются динамические системы с различным поведением в разных областях фазового пространства. Их фазовая траектория в зависимости от происходящих событий оказывается то в одной области, то в другой. Таким образом, к гибридным можно отнести классические динамические системы, чье фазовое пространство разбивается на ячейки с различным поведением, системы с разрывными правыми частями и системы, у которых меняется размерность в различных областях фазового пространства. Достижение фазовой траекторией границы областей будем называть событием, приводящим к смене поведения. Каждой области можно поставить в соответствие вершину некоторого графа, а его направленные дуги трактовать как возможные пути смены текущего локального поведения. Границы областей обычно задают с помощью предикатов, которые приписываются соответствующим дугам графа. Таким образом, гибридная система может быть представлена в виде графа, вершинам которого поставлены в соответствие классические динамические системы, и одна из вершин помечена как начальная, а дугам - условия смены поведения и мгновенные действия, выполняемые при смене поведения. Такая формализация называется гибридным автоматом. Это наиболее наглядная и удобная форма описания поведения гибридных систем, совпадающая при описании дискретных систем с картой состояний, принятой в «унифицированном языке моделирования» UML [2]. Глобальное поведение гибридной системы определяется всеми возможными путями, которые можно построить из начальной вершины. По мере движения модельного времени, фазовая траектория пересекает границы областей, при этом меняется вид решаемых уравнений. Можно также представить себе ситуацию, когда какая-либо из областей будет покидаться системой немедленно, как только система туда попадет. В этом случае гибридная система будет демонстрировать как длительные, «непрерывные» поведения, так и мгновенные, «дискретные».
Необходимость обеспечения обратной связи между исследователем и моделью опять же приводит нас к событийно-управляемым системам и дополнительно заставляет проводить и визуализировать вычислительный эксперимент в реальном времени. Назовем такой способ познания действительности активным компьютерным экспериментом, в отличие от традиционного пассивного вычислительного эксперимента, план которого может быть составлен заранее.

Качественное исследование начинается с размерностного анализа задачи. Приведение задачи к безразмерному виду позволяет сократить число определяющих параметров задачи. Выделение малых или больших безразмерных параметров дает возможность в ряде случаев существенно упростить исходную математическую модель, учесть особенности задачи при разработке численных методов ее решения.

Сама математическая модель может быть достаточно сложной, нелинейной. Это зачастую делает невозможным ее качественное исследование традиционными методами прикладной математики. Именно поэтому в громадном большинстве случаев проводиться качественное исследование на более простых, но обязательно содержательных, по отношению к исходной математической модели задачах. В этом случае мы должны говорить о модельных (упрощенных) задачах для основной математической модели (моделей для модели). Так например, особенности модели потенциального течения с дозвуковыми и сверхзвуковыми подобластями течения в плане качественного исследования передаются уравнением Трикоми, которое в математической физике относится к классу уравнений смешанного типа.
Большое внимание при качественном исследовании математических моделей (или модельных задач для них) уделяется вопросам корректности. Прежде всего рассматривается проблема существования решения. Соответствующие строгие результаты (теоремы существования) дают уверенность в корректности математической модели. Кроме того, конструктивные доказательства теорем существования могут быть положены в основу приближенных методов решения поставленной задачи.
При прикладном математическом моделировании важным является вопрос об устойчивости решения относительно малых возмущений входных данных. Неустойчивость (неограниченный рост решения при малых возмущениях) наиболее характерна для обратных задач и должна учитываться при построении приближенного решения.
Для нелинейных математических моделей может быть характерна множественность, неединственность решения. При качественном исследовании математических моделей изучаются точки ветвления, бифуркации решения, вопросы выделения нужного искомого решения и т.д.
Методы качественного исследования для различных типов математических моделей разработаны с неодинаковой полнотой. Среди моделей, где качественные методы принесли наиболее впечатляющие результаты, отметим обыкновенные дифференциальные уравнения. В теории уравнений с частными производными качественные методы также используются, хотя и не в такой большой степени. В качестве содержательного примера отметим принцип максимума для параболических и эллиптических уравнений второго порядка, который позволяет провести качественное исследование математических моделей, основанных на уравнениях с частными производными.
Точное или приближенное решение находится с использованием аналитических и численных методов. В этой связи среди классических примеров аналитических методов отметим методы разделения переменных, интегральных преобразований для линейных задач математической физики.
Для нелинейных математических моделей особое значение имеют методы линеаризации, различные варианты методов возмущений. Теория возмущений базируется на использовании асимптотических разложений по выделенному малому параметру. Особое внимание этим методам, несмотря на их ограниченность, уделяется при рассмотрении сингулярно возмущенных задач.
Качественное поведение решения нелинейной задачи может хорошо передаваться некоторыми частными решениями. Поиск частных решений нелинейных задач основывается на использовании автомодельных переменных, на результатах группового анализа уравнений, лежащих в основе математической модели.
Сложные нелинейные многопараметрические модели могут быть исследованы на компьютере численными методами. В отличие от аналитического решения, которое может давать явную параметрическую зависимость решения от тех или иных условий задачи, при численном решении требуется многократное решение задачи при изменении того или иного параметра. Но ведь численное решение может быть получено и для тех задач, для которых аналитического решения нет.
Использование компьютеров
Перейдем теперь к характеристике основных этапов использования компьютеров при математическом моделировании. Мы будем основное внимание обращать на использование вычислительных средств при нахождении приближенного решения задачи. Необходимо однако отметить и возможности применения компьютеров и на этапе качественного исследования математической модели, этапе отыскания аналитических решений модельных задач. Например, компьютер можно использовать для нахождения автомодельных решений. При выделении автомодельной переменной исходная задача для уравнения в частных производных сводится, например, к обыкновенному дифференциальному уравнению, происходит понижение размерности. Общее решение последнего находится на основе использования систем аналитических вычислений на компьютере (методов вычислительной алгебры), широко представленных в современных математических пакетах.
В применении компьютеров при математическом моделировании можно выделить, по крайней мере, два этапа, два уровня. Первый из них характеризуется исследованием достаточно простых математических моделей. На этом этапе (уровне) применения компьютеров вычислительные средства используются наряду и наравне с другими методами (чисто математическими) прикладной математики.
Выделенный этап применения компьютеров при математическом моделировании характеризуется условной цепочкой заказчик (теоретик) - исполнитель (прикладной математик). Заказчик ставит задачу, анализирует результаты, а исполнитель обеспечивает решение задачи с применением компьютеров. В этом случае речь идет о решении конкретной (достаточно узкой) задачи с определенным набором входных данных.
Для этого уровня применения компьютеров в прикладном математическом моделировании характерен лозунг Р.Хеминга: "Цель расчетов - понимание, а не числа". Это отражает традиции работы заказчика-теоретика, который больше всего ценит качественный анализ. Для современного этапа научных исследований и разработок одного понимания мало. Для выхода на эксперимент, реальную конструкцию требуются точные количественные зависимости и характеристики.
Второй этап (уровень) применения компьютеров характеризуется исследованием сложных нелинейных математических моделей. В этих условиях вычислительные средства становятся основными, абсолютно преобладающими. Традиционные средства прикладного математического моделирования выполняют вспомогательную, обслуживающую роль (качественное исследование задачи в сильно упрощенных постановках - модельные задачи, тестирование вычислительных алгоритмов и т.д.).
Именно возможность исследования сложных математических моделей на основе численных методов и компьютеров позволяет с новых позиций рассмотреть методологию научных исследований. Мощные компьютеры, высокоэффективные вычислительные алгоритмы, современное программное обеспечение позволяют в настоящее время организовать научные исследования в рамках единой технологии вычислительного эксперимента, который включает в себя теоретические и экспериментальные исследования.