Матемагия

Упражнение: умножение типа «3-на-1» 

---

%
%
Возведение в квадрат двузначных чисел
Возводить числа в квадрат в уме (умножать число само на себя) 
одно из наиболее лёгких, но в то же время, и одно из наиболее 
впечатляющих ловкачеств из арсенала устных вычислений. Я до сих 
пор помню, где я находился, когда открыл для себя это. Мне было 
тринадцать. Я сидел в автобусе, который вёз меня навестить отца на 
работе в центр Кливленда. Это была привычная поезка для меня, 

---

поэтому мысли начали блуждать. Я не помню почему, но я начал 
думать о числах, которые в сумме дают 20. И я задумался о том, каким 
большим может быть результат действий с этими числами?%
Я начал с середины, 10 х 10 (или 10
2 
)
, результатом чего является 
100. Затем, я умножил 9 х 11 = 99, 8 х 12 = 96, 7 х 13 = 91, 6 х 14 = 84,
5 х
15 =
75, 4 х
16 = 64, и так далее. Я обратил внимание на то, что 
результат каждый раз уменьшается. И разница между ним и 100 была 
1,4,9,16,25,36, . . . или 1
2
, 2
2
, 3
2
, 4
2
, 5
2
, 6
2
, . . . (смотри таблицу ниже)
%
Мне данный паттерн представился удивительным. Затем я 
опробовал числа, дающие в сумме 26, и результаты были похожими. 
Первым делом я прорешал примеры
13
2
= 
169, затем 12 х
14 =
168, 11 х
15 =
165, 10 х
16 =
160, 9 х 17 = 153, и так далее. Как и прежде, 
расстояния этих произведений от 169 равнялись 1
2
, 2
2
, 3
2
, 4
2
, и так 
далее (смотри таблицу ниже).%
На самом деле, существует простое алгебраичиское объяснение 
данного феномена (смотри «Почему эти приёмы работают»). Но в то 
время, я не разбирался в алгебре достаточно хорошо, чтобы доказать