Masalaning qo‘yilishi

Chekli ayirmalar jadvali. Teng masofalardayotuvchi

^x0^,x1^,x2,………… ^xi,…………… ^xn,……………….
( bu yerda x₁- x₀= x₂- x₁=…………=h=const, h ni qadam deb qaraymiz ) nuqtalar uchun ushbu
^y0^,y1^,y2,………… ^yi,…………… ^yn,……………….
Javal qiymatlar bilan berilgan y=f(x) funklsiyani qaraymiz bunda
f(x₀)=y₀f(x₁)=( x₀+h) = y₁f(x₂)=f(x ₂+2h) = y₂
…………………………………….
f(x_i)=f(x₀+ ih) =y_i
………………………………………………..
Chekli ayirmalar quyidagi munosabatdlar bilan aniqlanadi:
y_n=y₁–y₀; ²y_n= ( y₁)= ( y₁– y₀)= y₁- y₀;
³y₀= ( ²y₀) = ( y₁–y₀)= ²y₂- ²y₁
y₂=y₂–y₁= ²y₂= ( y₂)= (y₂–y₁)= y₂- y₁
²y₁= ( ²y₁) = ( y₂–y₁)= ²y₂- ²y₁
………………………………………………………….
^yi ^{= y}i+1^–yi ^2yi+1^{- 3y}i^{= 2y}i+1^{- 2y}i
Va hakozo ⁿy_i = ^n-1y_i-1 - ^n-1y_{i .}
Turli tartibli chekli ayirmalarni ikki xil ko‘rinishgi jadvallar shaklida joylashtirish qulay: ayirmalari gorizantal jadval ( 1 va 2 – jadvallar ) va ayirmalari diognal jadvallar (3 - jadval).
dasturlashtilida qo‘llash. 1 –jadval.

x	y	y	2y	3y	4y
x0	y0	y0	2y0	3y0	4y0
x1	y1	y1	2y1	3y1	4y1
x2	y2	y2	2y2	3y2	4y2
x3	y3	y3	2y3	3y3	4y3
x4	y4	y4	2y4	3y4	4y4

Jadvani to‘ldirish n – chekli ayirmalar o‘zgarmas bo‘lib qolguncha yoki ular bir – biridan absolyut qiymatlar bo‘yicha e dan ham songa farq qiluvchi davom ettiriladi, bu yerda e – berilgananiqlik.

3. 
   – misol.Ushbu
   

y = 2x³– 2x²+ 3x – 1

Chekli ayirmalar jadvalini boshlang‘ichi x₀= 0 qiymat bo‘yicha va qadami h=1 deb qabul qilib tuzing.
Yechish : x₀=0 , x₁=1, x₂=2 deb faraz qilib funksiyaning qiymatlarni topamiz y₀=- 1, y₁=2, y₂=13.Berilgan funksiyani uchunchi darajali ko‘pxad bo‘lgani uchun uchunchi chekli ayirmao‘zgarmasva ³y=2*3! h²=12 ga teng ,yuqori tartibli barcha chekli ayirmalar esa nolga teng.Chekli ayirmalar jadvalinituzamiz.

2. 
   –jadval
   

x	Y	y	2y	3y	4y
0	-1	2-(-1)=3	11-3=8	11	0
1	2	13-2=11	20	11	0
2	13	31	32	11
3	44	63	44
4	107	107
5	214

Jadvalni bunda buyon to‘ldirishni endi qo‘shish yordamida amalga oshirish mumkin.

Tuzilgan jadvalni diognal shaklida ham yozish mumkin:

2. 
   –jadval
   

x	Y	y	2y	3y	4y
0	-1	3
1	2	11	8
2	13	31	20	11	0
3	44	63	32	11	0
4	107	107	44	11
5	214

2. 
   Umumlashgan daraja.Kelgusida bizga umumlashgan daraja kerak bo‘ldi.Shu tushuncha bilan tanishishimizga x va h berilganbo‘lsin.
   

3.Tarif: x sonining umumlashgan n – darajasi deb birinchisi x gat eng bo‘lib har bir keyingisi o‘zidan oldingisidan n qadar kichik bo‘lgan n ta ko‘paytuvchining ko‘paytmasiga aytiladi:
x^[n]=x( x – h )( x – 2h )…………………..( x – ( n – 1 )h ). bu yerda x^[n]umumlashgan n – daraja x^[0]= 1 deb faraz qilamiz.
h=0 bo‘lganda umumlashgan daraja odatdagi mos bo‘ladi x^[n]= xⁿ
x=h deb faraz qilib umumlashgan darajalar uchun chekli ayirmalarni hisoblaymiz: Birinchi ayorma uchun quyidagiga egamiz y= x^[n]
y= x^[n]–(x+h)^[n]–x^[n]–(x+h)x(x-h)(x-2h)……(x-(n-2)h–x(x–h)(x—
2h)….( x – ( n-2 )h( x – 1 )h) – x( x – h )( x - 2h )………( x-( n – 2 )h (x+h – x+( n
– 1 ) - x^[n-1]nh.
ya‘ni x^[n]=nhx^[n]
Nyuton ayirmasini hisoblab quyidagiga ega bo‘lamiz:
ⁿx^[n]= (nhx^[n-1])=nh x^[n-1]– nh( n-1 )h_k2^[n-1]– nh( n-1 )h^[n-1]– n( n – 1 )h ^[n-2]– n( n – 1 )h^[n-k]

ya‘ni
k k


ⁿx^[n]=n( n – 1 )h^[n-1].

Amalarni takroran bajarib quydagiga ega natijani olamiz
ⁿx^[n]=h^tn( n – 1 )……………….( n –k+t) x^[n-1]Xususanh=nbo‘lganda ⁿxⁿ=n!hⁿ,h>0 bo‘lganda ⁿxⁿ=0bo‘ladi

2. 
   Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasi: Aytaylik y=f(x) funksiyaning erkli o‘zgaruvchilari teng uzoqlikdayotuvchi
   

x_0,x_1,x_{2………………}x_n( bunda x₁= x₀+h ,x₂=x₁+2h x_n=x_n-1+nh
va h – interpolyatsiya qadami ) qiymatlari uchun ushbu

y₀,y₁,y₂ y_n
Qiymatlari berilgan bo‘lsin x_inuqtalarni
^{yi=Pn( xi) ( i=} 0, n ^{) (1.1)}
Qiymatlarni qabul qiluvchi darajasi n dan katta bo‘lgan P_n( x_i) ko‘phadni tanlash talab etiladi.
Shartni quyidagicha yozib olamiz:
^{mPn(x0)= my0( m=} 0,n^{) (1.2)} Ko‘phadni quyidagi ko‘rinishda yozibizlaymiz
P_n(x)= a₀+ a₁( x – x₀)+ a₂(x - x₀)(x - x₁)+
+ a₂(x – x₀)(x - x₁)( x – x₀)+ … +a_n(x - x₀)(x - x₁) (x – x₂)(x – x₃) …( x – x_i-1)
Umumlashgan darajadan foydalanib bu ifodani quyidagich yozamiz P_n(x)= a₀+ a₁( x – x₀)^[1]+a₂( x – x₀)^[2]+ a₂( x – x₀)^[3]+
+ …. + a₂( x –x₀)^[n]. (1.3)
Masala P_n( x ) ko‘phadning a₀,a₂, a₃, …. …. ,a_nkoeffitsientlarini topishdan iborat. (1.3) tenglikda x= x₀deb faraz qilib quyidagiga ega bo‘lmiz
P_n(x₀)= y₀=a_obunda a₀=y₀
a₁koeffitsientni toppish uchun P_n(x) ko‘phadning birinchi chekli ayirmasini tuzamiz.


P_n(x)= a₁h + a₁2h( x - a₀)^[1]+ 3 a₁h( x - a₀)^[2]+
+ … + a₁nh( x - a₀)^[n-1]Bu yerda x=x₀deb faraz qilib ,quyidagiga egabo‘lmiz:
²P_n(x₀)= ²y₀=a₂2! ²,bunda a₂=

Jarayoni ketma – ket takrorlab borib ,biz

2!h ²

a_i=

i!h<sup>i

(i=</sup> 0, n ⁾

shundan topamiz ,bu yerda0!=1va ⁰y₀=y₀deymiz.
a₀,a₂, a₃, …. …. ,a_nkoeffitsientlarni topillgan qiymatlarni (1.3) ifodaga qo‘yib , Nyutonning interpolyatsiya ko‘phadni hosil qilamiz

P₀(x)=y₀+_1!h
( x – x₀)^[1]+
n _y
2!h²
( x – x₀)^[2]+ … +

+ ⁰( x –x
₎[n]

_{n! n} ⁰

(1.4) ko‘phad qo‘yilgan masalaning talablari butunlay qanotlantiradi. Nyutonning

(1.4) interpolyatsiya formulasini sodaroq ko‘rish uchun y yangi q= bilan yuqoridagi soddalashtirilga ko‘rinishda yoziladi.U holda
kirtish

(x x
₎[n]
^{x x}_n x x₂ h

n
0 ₌
n!
ⁿ n ^… n ⁼

buyerdaq= x₀nuqtadan chiqib x nuqtaga yetguncha oraliqdagiqadamlar


sonini ifodalaydi.(1.5) formula Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasidir. Bu formula funksifaning boshlang‘ich x₀qiymatni atrofida interpolyatsialashda qo‘llaniladi ,bu yarda q – absolyut qiymati bo‘yicha olinganson.
n=1bo‘lganda chiziqli interpolyatsiya formulasini tuzamiz:

P_n(x)= y_n+q y₀+
q(q
2
1) _y0

n=2 bo‘lganda parabolik yoki kvadratik interpolyatsiyasini tuzilmasigaega bo‘lamiz

P₂(x)= y₀+q y₀+^{q(q 1)}
2
2 _y0

2. 
   – misol.Jadvalda berilgan y=f(x) fuksiya uchun Nyutonni birinchi interpolyatsiya formulasiniyozing:
   

Xi	0	1	2	3	4	5
yi	5,2	8	10,4	12,8	14,0	15,2

Yechish: Chekli ayirmalar jadvalini tuzmiz

x	Y	^y0	^y1	^y3
0	5,2	2,8	-0.4	0
1	8	2,4	-0.4	0
2	10,4	2	-0.4	0
3	12,8	1,4	-0.4
4	14,0	1,2
5	15,2

Jadvaldan foydalanib ,Nyutonning (1.5) formulasini tuzamiz:

P_n(x)=5,2+q*2.8+^{q(q 1)}
2
( -0.4 ) ,

Buyerdaq= =x.Natijada quyidagiga egabo‘lamiz

P_n(x)=5,2+2,8x-^{x(x 1)}
2!
0,4

Izlanayotgan funksiyani yakuniy ko‘rinishni quyidagicha:
P₂(x)=5,2+2,8 x - 0,2x²
Eslatma:y=f(x) funksiya x nuqtadagi qiymatni taqribiy hisoblash uchun y=P_n(x) deb faraz qilinadi,bu yerda x nuqta x₂nuqtaga yaqinnuqta.

2.