Ma`ruzalar matni

3-ma`ruza. Matematika ukitishda ilmiy tadqiqot metodlari.

ReJA:

1. Induktsiya.

2. 
   Deduktsiya.
   

3. Analogiya.

Xulosa chikarishning asosiy turlaridan biri induktsiya va deduktsiyadir. Induktsiya va deduktsiya ilmiy metodlar bulib, ulardan matematik tatkikotlarda foydalanish bilan birga matematika ukitish jarayonida xam kullaniladi.

Induktiv xulosa chikarish insoniyatning kup asrli kuzatishi va tajribasi tufayli paydo bulgan. Induktiv xulosa chikarish xakida dastlabki maolumotlar kadimgi grek faylasofi Sokrat (e.av.469-399) asarlarida keltirilgan. Induktsiya termini lotincha suz bulib tilak, istak, xoxish, ragbat, undash demakdir.

Induktsiya-xususiy xulosalardan umumiy xulosaga utish demakdir. Induktsiya ikki xil kurinishda kullaniladi. Chala induktsiya va tula induktsiya.

Tula induktsiyada kurilishi mumkin bulgan barcha xususiy xollar kurilib, sungra umumiy xulosaga utiladi.

Masalan, 1) aylana, ellips, parabola, giperbolalarning barchasi konus kesimlaridir.

2) 1 dan 50 gacha sonlar ichida 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, 37, 41,43,47 sonlar tub sonlardir.

Chala induktsiyada bir nechta xususiy xollar kuriladi (to ishonch xosil kilinguncha) sungra umumiy xulosaga utiladi. 3.Arifmetik

progressiya umumiy xadi formulasini keltirib chikaraylik.

(b _n ) .arifmetik progressiya berilgan bulsin.

b ₂ =b₁+d

b ₃ =b₁+2d

b ₄ =b₃+d=b₁+3d

- - - - - - - - - -

b_n=b₁ +(n-1)d

Chala induktsiyada barcha xollar kurilmaganligi uchun (barcha xollarni kurishning iloji xam yuk) baozan notugri xulosalarga xam olib keladi. Masalan XVII asrda yashab ijod etgan frantsuz matematigi Ferma tub sonlarni aniklash uchun 2² +1formulani kashf etgan.

n=0 da 3 tub son; n=1 da 5 tub son; n=2 da 17 tub son;

n=3 da 257 tub son;

n=4 da 65537 tub son.

Guyo xamma xulosa kungildagidek, lekin oradan bir asrdan kuprok vakt utgach Peterburg akademiyasining akademigi L.Eyler yukoridagi formulaning n=5 da notugriligini isbotladi, yaoni n=5 da xosil bulgan 4294967297 soni 641 ga bulinishi kelib chikdi. Garchi kamchilikdan xoli bulmasada chala induktsiya metodi juda kup kullaniladi. Buning boisi shundan iboratki, birinchidan bunday notugri xulosa chikish xoli kamdan kam sodir buladi, ikkinchidan chala induktsiya kullanganda maolum bir gipoteza xosil buladi. Bu gipotezani esa matematik induktsiya metodi yordamida isbot etiladi.

Endi matkematik induktsiya metodiga tuxtalaylik. Matematik induktsiya keng tarkalgan ilmiy metod bulib, undan xam tadkikot ishlarida, xam ukitishda foydalanadilar. Bu metodning moxiyati kuyidagi uch kadamda mujassamlangan:

1. 
   kadam. Induktsiya yordamida chikarilgan A_n xulosa n=1 da tekshirilib kuriladi.
   
2. 
   kadam. A_n xulosa n=k uchun tugri deb olinadi.
   
3. 
   kadam. A_n xulosaning n=k+1 uchun tugriligi isbotlanadi. Isbotlangan xulosa n xar kanday bulganda xam tugri xisoblanadi. Matematik induktsiya metodidan yangi mavzu utishda (kupincha teorema isbotlashda) va masalalar echishda keng foydalanadilar.
   

Biz bu erda matematik induktsiya metodining masala echishda kullanishiga bir misol keltiraylik.

Natural sonlar katorining dastlab n ta xadlari Yigindisi ekanligi isbotlansin.

n(n+1) S_n=1+2+3+...+n = ----------

2

1(1+1) n=1 bulsa, S₁= --------- = 1

2

k(k+1) n=k bulsa, S_k=1+2+...+k= --------

2

(k+1)(k+2)

n=k+1 da, S_k+1=1+2+...+k+(k+1)= ----------- ekanligini isbotlaymiz.

2

Isboti: k(k+1) k(k+1)+2(k+1) (k+1)(k+2) S_k+1=S_k+k+1=---------- + (k+1) = ------------------- = ;

2 2 2

Demak, umumiy xulosa tugri, yaoni natural sonlar katorining dastlabki n ta xadining

yigindisi formula bilan ifodalanadi.

Induktsiya termini uchta asosiy maononi bildiradi.

1. 
   Bu xulosa chikarish turlaridan bulib, bunda 2 eki bir necha xususiy muloxazalardan yangi umumiy xulosa chikariladi.
   
2. 
   Bu tatkikot metodi bulib, maolum oboektlar tuplamini urganish urniga uning baozilarini urganilib ulardagi xamma tuplam uchun urinli buladigan xossalari keltirib chikariladi.
   
3. 
   Bu adabiy manbalarda, suxbatlarda, ukitishda materialni baen formasi bulib, bunda unga umumiy bulmagan xolatlardan umumiy xolatga utiladi.
   

Kuyidagi misollarni kuraylik.

1. 
   Aloxida-aloxida muloxazalar.
   
   1. 
      aylana tugri chizik bilan 2 tadan ortik nuktada kesishmaydi;
      
   2. 
      ellips tugri chizik bilan 2 tadan ortik nuktada kesishmaydi;
      

v) parabola tugri chizik bilan 2 tadan ortik nuktada kesishmaydi;

g) giperbola tugri chizik bilan 2 tadan ortik nuktada kesishmaydi. Xususiy muloxaza.

Ellips (aylana), parabola, giperbola, II tartibli chiziklar tuplami bulib, konus kesimlaridir.

Yangi umumiy muloxaza.

II tartibli chiziklar tugri chizik bilan 2 tadan ortik nuktada kesishmaydi.

Induktiv xulosa chikarishning tula va tula bulmagan induktsiya turlari mavjud.

Tula bulmagan induktsiyada vaziyatga taolukli baozi xususiy xollarda karaladi.

Mantikiy nuktai nazardan tula bulmagan induktsiya deganda bir eki bir necha xususiy muloxazalar asosida xulosa chikarish tushiniladi. Tula bulmagan induktsiyaga asoslanib chikarilgan xulosa baozan xato bulishi mumkin. Shuning uchun undan tatkikot metodi sifatida foydalanilaetganda extiet bulish kerak.

Tula bulmagan induktsiya xususiy xollar asosida biror konuniyatni topishga yullaydi.

Ta`rif. Tula induktsiya deb xamma xususiy xollardagi xulosalarga asoslanib xulosa chikarishini aytiladi.

Agar kurilgan xolatlar soni chekli bulsa, xamda xollar tula induktsiya erdamida kurilgan bulsa, chikarilgan xulosa asosli xisoblanadi.

Tula induktsiya xolatlar soni kup eki cheksiz bulsa xam ishlatiladi.

Cheksiz sondagi xususiy xollarni chekli sondagi bir-biriga boglik bulmagan xollarga bulish mumkin bulsa, tula induktsiya kullanadi.

Deduktsiya lotincha deductio - keltirib chikarish, xulosa chikarish formasi bulib, bunda bir umumiy va bitta xususiy xulosadan yangi unga umumiy bulmagan eki xususiy xulosa chikariladi. Deduktsiya umumiy xulosadan xususiy xulosaga utish demakdir, yaoni formulalardan foydalanib masalalar echish deduktsiyadir. Misollar keltiraylik.

Misol-1. (a,b)=1 bulsa, a va b sonlarni uzaro tub sonlar deymiz. Bu umumiy xulosa. (13,17)=1 shart bajarilsa, 13 va 17 sonlari uzaro tub sonlar buladi. Bu esa xususiy xulosa.

Misol-2. Xamma muntazam bir jinsli kupburchaklar uxshash (birinchi xulosa).

Berilgan muntazam kupburchaklar bir jinsli (ikkinchi xulosa). Berilgan muntazam kupburchaklar uxshash (yangi xulosa).

Matematik xulosalarning aksariyati deduktivdir chunki, matematika deduktiv fandir.

Induktsiya va deduktsiya uzaro boglik bulib, mukammal induktsiyani tashkil etadi. Bu metod induktiv yul bilan chikarilgan xulosani mantikiy asoslashda ishlatiladi.

Tula (mukammal) matematik induktsiyani kullash kuyidagi etaplarni bajarish bilan olib boriladi.

1. 
   kuzatish bilan tajriba;
   
2. 
   gipoteza;
   
3. 
   gipotezani asoslash.
   

Xulosa chikarish metodlaridan yana biri bu analogiyadir.

Ta`rif. Uxshashlikka asoslanib xulosa chikarish analogiya deyiladi.

Analogiya buyicha xulosa chikarishni tasvirlash mumkin: F figura a,b,c,d - xossalarga ega. F₁ figura esa a,b,c - xossalariga ega bulsa, u xolda F₁ figura xam d xossaga ega bulishi mumkin.