Ma’ruza Chekli elementlar usuli

Bu usulni Kurant davrida rivojlanmaganining asosiy sababi, u davrda katta xotira bilan katta tezlikda hisoblash ishlarini bajaradigan EHMlar mavjud emasligi edi.

Hozirgi vaqtda sonli hisoblash usullarini rivojlanishi va EHMlarni tez taraqqiy etishi murakkab shaklli konstruksiya elementlaridagi deformatsiya va kuchlanishlarni aniqlash uchun juda katta imkoniyat yaratdi.

Chiziqli algebraning ba’zi bir tushunchalari

Chekli elementlar usuli bilan ishlaganda, matritsa ko‘rinishida beriladigan munosabatlar bilan ko‘p ishlashga to‘g‘ri keladi. Shuning uchun bu usulni tushunishni osonlashtirish maqsadida matritsalar bilan bajariladigan ba’zi bir amallarni eslatib o‘tishni lozim topdik.

Matritsa deganda tartiblashtirilgan sonlar to‘plami tushuniladi. Umumiy holda matritsa m ta sonlar qatori va n esa sonlar ustunidan iborat bo‘lib, (mn) ta sonlarni birlashtiruvchi to‘plamdir. Matritsalar odatda quyidagicha belgilanishi mumkin:
A, [A], A_ij,
– lar matritsani elementlari bo‘lib, (mn) matritsani tartibini bildiradi.
Agar matritsa bitta qatordan (ya’ni m =1) yoki bitta ustundan (ya’ni n =1) bo‘lsa bunday matritsalar vektor deyilib, u quyidagicha belgilanadi .
Misol: a) – tartibi (m×n) = (2×1) bo‘lgan (vektor) matritsa,
b) – tartibi (m×n) = (2×3) bo‘lgan matritsa,
d) – tartibi (m×n) = (1×4) bo‘lgan (vektor) matritsa.
Matritsani ixtiyoriy elementi deb belgilanadi, misol uchun b) matritsada , va hokazolar.
Agarda m=n bo‘lsa, kvadrat matritsa hosil bo‘ladi. Matritsani qatori bilan ustunini o‘zaro almashtirish yo‘li bilan hosil qilingan matritsa transponirlangan matritsa deyilib, u deb belgilaniladi.
Agarda bo‘lsa, bu matritsada m=n bo‘lib, bo‘ladi.
bo‘lgan matritsalar simmetrik matritsalar deyiladi.
Agarda matritsani faqat dioganal elementlar, ya’ni bo‘lib, qolgan elementlari bo‘lsa, bunday matritsa dioganal matritsa deyiladi.
Diagonal matritsada bo‘lsa, bunday matritsa birlik matritsa deyiladi.
Agar simmetrik matritsani har bir qatorida bir xil sondagi, ya’ni p=n–k elementlari , qolganlari bo‘lsa, bunday simmetrik matritsa lentali matritsa deyiladi.
Quyidagicha belgilanadigan matritsa vektor-ustun deyilib, uni transponirlangani vektor-qator deyiladi.
Matritsalar ustidagi amallar va ularni xususiyatlari quyidagilardan iboratdir:
1. Ikkita va matritsalar bir biriga teng bo‘lishi uchun ularning qatorlari va ustunlari bir xil bo‘lib, barcha va larga tegishli elementlari, ya’ni bo‘lishi kerak.
2. Ikkita va matritsani qator va ustunlarining soni bir xilda bo‘lganda ularni qo‘shish mumkin bo‘lib, bo‘ladi va ni elementlari quyidagicha topiladi (barcha lar uchun).
3. Matritsa, skalyar songa ko‘paytirilganda uning barcha elementlari shu songa ko‘paytiriladi, ya’ni: yoki (barcha lar uchun).
4. Agarda ni tartibi (mxp) va ni tartibi (pxn) bo‘lsa, bu ikkita matritsani ko‘paytirib ni hosil qilish mumkin. Bu holda ni elementlari quyidagicha aniqlanadi: . Hosil bo‘lgan matritsa ni tartibi bo‘ladi.
5. Matritsalar ko‘paytirilganda kommutativlik xususiyat bajarilmaydi ya’ni:

6. Vektorlar ko‘paytirilganda tartibi yoki bo‘lgan matritsa hosil bo‘ladi.


Matritsalar ko‘paytirilganda quyidagi xususiyatlar o‘rinli bo‘ladi:
7.
8.
9.
10. Matritsani determinanti (aniqlovchisi) quyidagicha belgilanadi:
, yoki
Tartibi (n n) bilan matritsaning determinantini (aniqlovchisini) quyidagicha topish mumkin: . Bu yerda matritsaning ixtiyoriy qatori va ustunini nomeri esa matritsadan -qator va -ustunni o‘chirilib hosil qilingan tartibi bo‘lgan matritsadir.
Misol: matritsani determinanti topilsin:
=
11. matritsaning teskari matritsasi deb belgilanib, bo‘ladi.
Misol: ning teskari matritsasini topilsin.
Teskari matritsani elementlari ni topish uchun matritsani har bir elementi turgan qator va ustun navbatma-navbat o’chirilib, teskari matritsani elementlari quyidagicha topiladi
, ,
, ,
, ,
, ,

Bu yerda matritsani determinanti; lar matritsadan tegishli qator va ustun o‘chirilgandan keyin hosil bo‘lgan tartibi bo‘lgan matritsani determinantlari.
Determinantni va teskari matritsani topish (agar matritsani tartibi dan katta bo‘lsa) ancha murakkab masala bo‘ladi. Bu hollarda teskari matritsani standart dasturlar yordamida EHM da topiladi.
12. Chiziqli tenglamalar sistemasi:

yoki ni yechimi quyidagicha topiladi:
13. Quyidagi ko‘rinishdagi algebraik tenglamalar sistemasini xususiy qiymati va xususiy vektori , EHM larda maxsus algoritmlar asosida tuzilgan dasturlar yordamida topiladi.