Ma’ruza 8 n-tartibli determinant tushunchasi n-tatibli determinant xossalari. Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar. Laplas teoremasi. Matrisalar algebrasi. Teskari matrisa tushunchasi

Xossa 8.5. Determinantning ixtiyoriy ikkita satrlarini o’rnini almashtirish

natijasida uning faqat ishorasigina o’zgaradi, ya’ni

.

Isbot.  Agar 

 birinchi  determinant  umumiy  hadi  bo’lsa,

satrlar almashtirishlarda hosil bo’lgan determinantning umumiy hadi

bo’ladi. Bu hadlarga oid o’rniga qo’yishlarni qarasak:

 va 

larning  ishorasi  bir-biriga  qarama-qarshi  bo’ladi, 

  o’rin

almashtirishlarni 

nchi  va 

nchi  elementlarini  o’rinlarini  almashtirish

(tranpozisiyalash)  natijasida  ularning  signaturasi  qarama-qarshi  ishora  bilan

o’zgaradi.  Shunday  qilib,  determinantlarning  umumiy  hadlari  qarama-qarshi

ishora bilan va demak determinantni o’zlari bir-biriga qarshi ishorali bo’ladi.

         Bu xossadan to’g’ridan-to’g’ri quyidagi xossani hosil qilamiz:

         Xossa 8.6. Bir xil satrlarga ega bo’lgan determinant nolga teng.

         Isbot. Faraz qilaylik, determinant ikkita 

nchi va 

nchi satrlari teng

bo’lsin.  U  holda  oldingi  xossaga  asosan  bu  satrlarni  o’rinlarini  almashtirish

natijasi unga ishorasi qarama-qarshi bo’lgan determinantni hosil qilamiz va ular

aynan tengdir, ya’ni 

 bo’lib, bundan

hosil bo’ladi.

                  Shuni  ta’kidlaymizki, 

  dan  hamma  vaqt  ham 

  kelib

chiqaveradi.  Buning  uchun 

  maydon  nol  xarakteristikali  yoki  maydon

kengaytmasi bo’lgan halqa nol xarakteristikali halqa bo’lishi kerak.

---

         Xossa 8.3 va xossa 8.6. lardan quyidagi xossani hosil qilamiz:

         Xossa 8.7. Proporsional satrlarga ega bo’lgan determinant nolga teng.

         Isbot.

determinantda 

nchi va 

nchi satrlar proporsional bo’lsin, ya’ni qandaydir 

 element uchun

o’rinli  bo’lsin.  U  holda 

nchi  satrlardan 

  ni  determinant  belgisidan

tashqariga chiqarsak, hosil bo’lgan determinantning 

nchi va 

nchi satrlari

bir xil bo’ladi va demak bu determinant nolga teng.

         Xossa 8.8. Agar determinantning biror satri qolgan satrlarining chiziqli

kombinasiyasidan iborat bo’lsa, u holda determinant nolga teng bo’ladi.

         Isbot. Faraz qilaylik, determinantning   satri 

nchi satrlarining

chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’lsin, ya’ni 

.

U  holda  determinant  xossa  8.2.ga  asosan  yig’indilarga  yoyib,  bu  yig’indi

hadlardan  xossa  8.3.  ga  asosan 

  chiqaramiz  va  natijada  yig’indi

hadli  determinantlarda  satrlari  bir  xil  determinantlar  bo’lib,  xossa  21.6.  asosan

ularning hammasi nollarga teng bo’ladi.

         Endi biz determinantlarni hisoblashda muhim ahamiyat ega bo’lgan oxirgi

xossani keltiramiz.

         Xossa 8.9. Agar determinantning biror satrini biror-bir 

 elementga

ko’paytirib, boshqa bir satriga qo’shsak, uning qiymati o’zgarmaydi.

---

         Isbot. Determinantni 

nchi satrini   ga  ko’paytirib, 

nchi satriga

qo’shamiz:

determinantdan

.

                  Bizga  xarakteristikasi  nol  bo’lgan 

  maydonda 

nchi  tartibli

determinant  berilgan  bo’lsin.  Xossa  8.9.dan  foydalanib,  bu  determinantda

yetarlicha nollar paydo qilishimiz mumkin (II tip elementlar almashtirish kabi!)

va natijada determinant, ya’ni yig’indini hisoblashni ancha yengillashtiramiz va

agarda  biz  determinantning  xossa  8.5.dan  foydalansak  (I  tip  elementar

almashtirishlar  kabi!)  biz  determinant  uchbrchaksimon  shakli  yoki  zinapoyali

(trapesiyasimon) shaklga olib kelamiz. Ikkinchi holat bo’yicha determinant nolga

---

teng  bo’ladi,  chunki  nolli  satrlar  hosil  bo’ladi,  agarda  determinant

uchburchaksimon shaklga, ya’ni

,  

ko’rinishni olsa, u holdan determinant to’g’ridan to’g’ri foydalangan holda

hosil  qilamiz.  (Shuni  ta’kidlaymizki,  bu  ishlarni  II  halqada  ham  bajarish

mumkin!).

                  Misol.  Ushbu  determinantni  determinantlarni  xossalaridan  foydalanib,

hisoblaymiz:

Uchburchak usuli bilan hisoblab determinant 22 teng bo’lishligiga ishonch hosil

qiling.

Biz 

 kommutativ  halqada  (bu  yerda  biz 

 halqa  sifatida, 

 sonli  butun  halqa  va  sonli  maydonlar  deb  bilamiz  va  agar  bizga  kiritilaytgan

tushunchalar  va  ularni  xossalarini  tasvirlashda  biror-bir  holat  yuz  bermasa,

xarakteristikasi  nol  yoki  nol  bo’lmagan  maydonlar  deb  ham  qarashimiz

mumkin).

         

nchi tartibli kvadratik

---

matrisa  berilgan  bo’lsin.  Bu  matrisani  ixtiyoriy    ta  satr  va 

  ustunlarining

kesishgan  (o’chirilgan)  joylaridan 

-nchi  tartibli  determinant  tuzib  olamiz.

Hosil  bo’lgan  determinantga 

  determinantning 

-nchi  tartibli  minori

deyiladi.

         Xususan, determinantda bitta satr va bitta ustunni (

) kesishgan joyida

bitta  element  bo’ladi,  ya’ni  determinantning  elementlari  ham  minorlar  bo’lishi

mumkin.  O’chirilmay  qolgan  elementlaridan  tuzilgan  determinant 

 tartibli determinant bo’lib, unga minorning to’ldiruvchi minori deyiladi. Minor

va to’ldiruvchi minorlarni qulaylik uchun 

 va 

 lar  bilan  belgilab  olamiz.

Shuni  ta’kidlaymizki, 

  va 

  determinantlar  bir-birini  o’zaro  to’ldiruvchi

minorlar juftligi deb ham ataladi. Xususan, determinantning 

nchi satr va 

nchi  ustunini  kesishmasida  turgan 

  element  birinchi  tartibli  va  uning

o’chirilmay  qolgan  elementlaridan  tuzilgan  to’ldiruvchi  minor 

  tartibli

minor bo’lib, ular birgalikda o’zaro to’ldiruvchi minorlar juftini tashkil qiladi.

         Agar 

tartibli 

 minor 

 satr va 

 ustunlarining

 kesishmasidan tuzilgan bo’lsa, u holda

,                                        (2)

bu  yerda 

       

  minorning

algebraik to’ldiruvchi deyiladi.

         Matrisaning bosh diagonalida joylashgan

---

va hokazolar, xususan 

 ning o’ziga bosh minorlar deb ataladi.

                  Endi 

nchi  tartibli  bosh  minorni  o’z  algebraik  to’ldiruvchisiga

ko’paytmasini qaraymiz:

.

         U holda

juft son bo’ladi va demak

bo’ladi. 

 minorning ixtiyoriy hadi

,

unga oid o’rniga qo’yish

bo’lib, 

 bo’lsin. Xuddi shunday 

 minorning ixtiyoriy hadi

bo’lib, 

 va bu

o’rniga qo’yishning signaturasi bo’lsin.

         Hosil bo’lgan ko’paytmalarni ko’paytmasi

---

bo’lib, bu ko’paytma determinantning turli satr va ustunlaridan bittadan olingan 

 ta elementlarning ko’paytmasidan iborat  va  -nchi tartibli determinantning

hadi  bo’ladi.  Endi  bu  ko’paytmaning  ishorasi 

,  xuddi  shu

ishoraga 

nchi tartibli determinant ham ega bo’lishligini ko’rsatamiz.

         Haqiqatan ham, bu hadning indekslaridan tuzilgan

o’rniga  qo’yishning  faqat 

 ta  inversiyasi  bor,  chunki  hyech  qaysi 

 hyech bir 

 bilan inversiya tuza olmaydi, ya’ni barcha 

 lar   dan katta

emas, barcha 

 lar 

 dan kichik emas.

         Shunday qilib, bu quyidagi lemmani isbot qildik:

         Lemma 8.10. 

 ko’paytmaning hadlari 

 determinantning hadlari

bo’lib, ular bir xil ishorali bo’ladi.

         Endi umumiy holni qaraymiz, ya’ni 

 minor 

 nomerli satrlarda

va 

 ustunlarda joylashgan bo’lib,

bo’lsin.  U  holda 

  satrlarda  va 

  ustunlarda  mos  ravishda 

 va 

  almashtirishlar  bajarib,  bosh

minorga  olib  kelamiz.  Hosil  bo’lgan 

 determinant  oldingi 

  determinant

bilan faqat 

 ishorasi bilangina farq qiladi, ya’ni bunda

bo’lib,

bo’ladi va demak

---

hosil bo’lib, 

 minor esa bosh minor va demak biz lemma 22.1. holga kelamiz.

         Shunday qilib, biz quyidagi lemmani isbot qildik.

                  Lemma  8.11.  Determinantning  ixtiyoriy  minorini  o’z  algebraik

to’ldiruvchisiga  ko’paytmasidagi  har  bir  hadlar  bir  xil  ishora  bilan

determinantning hadi ham bo’ladi.

                  Endi  biz  determinantni  bir  nechta  satri  yoki  ustuni  bo’yicha    yoyish

haqidagi va Laplas nomi bilan yuritiluvchi teoremani keltiramiz.

         Teorema 8.12. (Laplas teoremasi) Determinantning tanlab olingan   ta (

)  satri  (yoki  ustuni)  bo’yicha  barcha  minorlarining  o’z  algebraik

to’ldiruvchilarining yig’indisi determinantga teng bo’ladi.

         Isbot.  Teoremaning shartiga asosan biz