Ma'ruza №1 mavzu: Differentsial tenglamalar haqida tushuncha. Differentsial tenglamalarga keltiriladigan ba`zi (fizika, matematika, biologiya, iqtisodiyotga oid) masalalar. Reja

1-masala. Massasi m bo‘lgan jism

v(0)  v₀

boshlang‘ich tezlik bilan biror balandlikdan

tashlab yuborilgan. Jism tezligining o‘zgarish qonunini toping.

Nyutonning 2-qonuniga ko‘ra

m ^dv  F .

dt

Bu yerda F -jismga ta'sir etayotgan kuchlar yig‘indisi.

Jismga faqat 2 ta kuch ta'sir etishi mumkin deb faraz qiliylik.

1. 
   havoning qarshiligi:
   
2. 
   yerning tortish kuchi:
   

F₁  kv, k  0

F₂  mg

Shunday qilib, matematik nuqtai-nazardan

1. 
   F  F₂ ;
   
2. 
   F  F₁ ;
   

3. 
   F  F₁  F₂
   

teng bo‘lishi mumkin.

1. 
   F  F₂
   

 m ^dv  mg  ^dv  g 

dt dt

_ dv  _

gdt  v₁(t)  gt  C ,

v(0)  v₀  v₁ (0)  C  v₀ , C  const .

v₁ (t)  gt  v₀

dv dv k k

• 
  k _t
  

2. 
   F  F₁   kv  _   _ dt  ln v    ln C  v(t)  Ce ^m ,
   

dt v m m

• 
  k _t
  

v(0)  v₀  v(0)  C  v₀  v(t)  v₀e ^m .

d (g  ^k v)

3. 
   F  F  F  m ^dv  mg  kv  ^dv  dt   ^{m m}
   

 t  ln C 

1 2 _dt

 _k 

_k ^ k

g  v g  v

m m

• 
  ^m ln g 
  

k

^k v  t  ln C  g 

m

_{k } k _t

v  Ce ^m 

m

_{k } k _t

• 
  k _t
  

mg m

 v  Ce ^m  g  v₂ (t)  C₁e ^m  , v(0)  v₀ , C₁   C .

m k k

2 1 0 1 0 2 0
v (0)  C  ^mg  v  C  v  ^mg  v (t)  (v 

mg _)e

• 
  k _t m
  

• 
  mg _.
  

k k k k

Endi differensial tenglamalar fanining asosiy tushuncha va ta’riflarini keltiramiz.

3. 
   Ta’rif. Erkli o‘zgaruvchi va noma'lum funksiya hamda uning hosilalari yoki differensiallarini bog‘lovchi munosabat differensial tenglama deyiladi.
   

Agar differensial tenglamadagi no'malum funksiya faqat bitta erkli o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lsa, bunday differensial tenglama oddiy differensial tenglama deyiladi.

Agar differensial tenglamadagi no'malum funksiya ikki yoki undan ortiq erkli o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lsa, bunday differensial tenglama xususiy xosilali differensial tenglama deyiladi.

Ta’rif. Differensial tenglamaga kirgan hosilalarning eng yuqori tartibi tenglamaning tartibi deyiladi.

Misollar.

1) y^  y^cos x  x² y  0

ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama.

2) x(1 y² )dx  y(1 x² )dy  0

birinchi tartibli oddiy differensial tenglama.

3) x ^z  y ^z


birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama bo‘ladi

x y

(z  z(x, y)) .

Ta’rif. Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb tenglamaga qo‘yganda uni

ayniyatga aylantiradigan har qanday differensiallanuvchi

y  ( x)

funksiyaga aytiladi.

Ta’rif. Differensial tenglama yechimining grafigi integral egri chiziq deyiladi.

Foydalanish uchun adabiyotlar

1. 
   Салохитдинов М.С., Насритдинов Г.Н. Оддий дифференциал тенгламалар.
   

Тошкент, “ Ўзбекистон”, 1994.

2. 
   Понтрягин Л.С. Обыкновенние дифферциальные уравнения. М.:Наука, 1969.
   
3. 
   Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гиз.Физ- мат. литература.1958
   
4. 
   Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчиление. М.: Наука.. 1965.
   
5. 
   Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1979 (5-е издание).
   

Mustaqil ta’lim mavzulari

1. 
   Differentsial tenglamalarga keltiriladigan ba`zi (fizika, matematika, biologiya, iqtisodiyotga oid) masalalar.
   
2. 
   Bir jinsli va umumlashgan bir jinsli differensial tenglamalar.