Маъруза №1. Компьютер графикасига кириш

Маъруза 10. Проекциялар. Параллел проекциялар.
Мақсад: Геометрик проекцияларни, хусусан параллел проекцияларни ўрганиш.
Калит сўзлари: Геометрик проекциялар, параллел проекциялар, ортографик, аксонометрик, қия бурчакли проекциялар.
Режа:

1. 
   Геометрик проекциялар,
   
2. 
   Параллел проекциялар,
   
3. 
   Ортографик,
   
4. 
   Аксонометрик,
   
5. 
   Қия бурчакли проекциялар.
   

Lecture 7. Projections. Parallel projections.

• 
  Objective : study of geometric projections, namely the parallel projections.
  



• 
  Key words: geometric projections, parallel projections, orthographic projections, axonometric projections, oblique projections.
  


Plan:

1. 
   geometric projections,
   
2. 
   parallel projections,
   
3. 
   orthographic projections, 4. axonometric projections,
   

5. oblique projections.
Проекция(проекциялаш) деб n ўлчовли координаталар системасида берилган нуқта(лар)ни n дан кам бўлган ўлчовли координаталар системасидаги нуқта(лар)га алмаштиришларга айтилади. Хусусий ҳолда, компьютер графикасида 3 ўлчовлидан 2 ўлчовлига проекциялашни кўрамиз.
Уч ўлчовли объектни проекцияси проекция нурлари орқали қурилади ва улар проекторлар дейилади , улар проекция маркази(нуқта)дан чиқиб объектнинг хар бир нуқтасидан ўтади ва проекция (тасвир) текислигидан кесиб ўтиб унда объектнинг проекциясини ясайдилар.

• 
  Фазовий объектларнинг картина текислигидаги тасвирлари проекциялаш амалига асосланган. Тўғри чизиқ нурлари тарамида проекциялашнинг математик ифодалашни кўрайлик.
  

Бундай нурларнинг икки тури мавжуд:

• 
  берилган йўналишга параллел нурлар тарами; бир нуқтадан чиқувчи нурлар тарами.
  

Параллел ва марказий проекциялаш.

• 
  1. Параллел ^1. проекциялар:
  

2.

• 
  2 . Марказий проекциямаркази
  

(перспектив) проекциялар:

Параллел нурлар билан проекциялаш
Энг содда ҳол – перпендикуляр проекциялаш, яъни тўғри чизиқлар тасвир текислигига перпендикуляр, текисликнинг ўзи эса координата текисликларидан бири ёки унга параллел бўлади. (расмга қаралсин).

Оyz текислига Ох ўқи бўйлаб проекциялаш – ортографик проекциялаш матрицаси қуйидаги кўринишга эга:

Агар проекция текислиги координаталар текислигига параллел бўлса, проекциялаш матрицасини кўчиш матрицасига кўпайтириш керак:
1 0 0 0 0 0 0 0
   
M x _00 10 10 00^00 10 10 00
   
p 0 0 1_ _p 0 0 1_
Шу каби ординат ва аппликат ўқлари бўйлаб проекцияларни қуйидагича ёзиш мумкин :
1 0 0 0 1 0 0 0
   
MY _00 00 10 00 MZ _00 10 00 00
   
0 q 0 1_ 0 0 r 1_
Аксонометрик проекцияларда проекцияловчи тўғри чизиқлар картина текислигига перпендикуляр бўлади.
Проекциялаш текислиги ва координата текисликларининг ўзаро жойлашувига мос ҳолда учта проекцияга ажратилади:

• 
  триметрия – картина текислигининг нормал вектори координата ўқлари билан ҳар хил бурчак ташкил қилади (40,а –расмга қаралсин);
  
• 
  диметрия – картина текислиги ва координата ўқлари орасидаги бурчаклардан иккитаси ўзаро тенг, учинчиси эса улардан фарқли (40,б-расмга қаралсин);
  
• 
  изометрия – картина текислиги ва координата ўқлари орасидаги барча учта бурчак ўзаро тенг
  

а) x б) в) x x y
y y
 z z z
40-_расм

• 
  Учта турдан ҳар бири ҳам координата ўқлари атрофида буриш ва кейин эса параллел проекциялаш комбинациялари орқали ҳосил қилинади.
  
• 
  Ордината ўқи атрофида  бурчакка буриб, кейин абсцисса ўқи атрофида  бурчакка буриб, кейин Оz (аппликат) бўйлаб параллел проекциялашда қуйидаги матрица ҳосил бўлади:
  

 cos  M sincos

0 cos

sin sincos0

0  0

_ 00 0
  00 1_

Қия бурчакли проекциялар

 Умуман:
lcos;lsin

• 
  Кавалье проекциясида:
  

l 1, 45⁰, 1 0 0 0_
 

• 
  Кабинет 1 проекциясида0 : K __0 _1 00 00_ l  2, 45 0 0 0 1
  

а) эркин проекцияда проекцияловчи тўғри чизиқнинг картина текислигига оғиш бурчаги тўғри чизиқнинг ярмига тенг, у ҳолда  =  = cos /4;
 б) кабинет проекция – эркин проекциянинг хусусий ҳоли – учинчи ўқ бўйича масштаб икки баробар кичик:  =  = 1/2cos /4.
Эътиборингиз учун рахмат!