ma’ruza ( soat)

2.2. Kompleks sonli ketma-ketlikning limitik nuqtasi tushunchasi. Faraz qilaylik, har biri kompleks sondan iborat
(2.3)
ketma-ketlik berilgan bo’lsin.
2.1-Ta’rif. Agar uchun tengsizlik ning biror natural sondan katta cheksiz ko’p qiymatlari uchun bajarilsa, u holda kompleks son (2.3) ketma-ketlikning limitik nuqtasi (soni) deyiladi.
Odatda nuqtalar to’plami (doira) nuqtaning atrofi deyiladi.
Endi bu ta’rifni geometrik nuqtai nazardan quyidagicha ayta olamiz: nuqtaning har qancha kichik atrofini olmaylik, unda (2.3) ketma-ketlikning cheksiz ko’p hadlari yotsa, u holda nuqta (2.3) ketma-ketlikning limit nuqtasi deyiladi.
2.1-misol. ketma-ketlikning limitik sonlari (nuqtalari) ikkita. Bu va sonlardir. Chunki va nuqtalarning ixtiyoriy atrofida mos ravishda cheksiz ko’p sondagi va nuqtalar yotadi.
2.2- misol. ketma-ketlik ham ikkita limitik nuqtalarga ega.
2.3. Chegaralangan va chegaralanmagan kompleks sonli ketma-ketliklar.
2.2-Ta’rif. Biror son topilib, barcha natural sonlar uchun tengsizlik bajarilsa, u holda (2.3) ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.
Geometrik nuqtai nazardan (2.3) kompleks sonlar ketma-ketligining chegaralangan bo’lishi uchun uning barcha hadlari markazi nol nuqtada yotuvchi biror radiusli ochiq doiraga qarashli ekanligini bildiradi.
Agar musbat sonning qanday bo’lishidan qat’iy nazar (2.3) ketma-ketlikning hech bo’lmaganda bitta nuqtasi topilib, tengsizlik bajarilsa, ya’ni nuqta doiraning tashqarisida yotsa, u holda (2.3) ketma-ketlik chegaralanmagan deyiladi.


2.4.Bolsano-Veyershtrass teoremasi.
2.2-Teorema. Har qanday chegaralangan cheksiz ketma-ketlik hech bo’lmaganda bitta limitik nuqtaga ega.
Isbot. Teorema shartlari bajarilsa (2.3) ketma-ketlik hadlarini tomonlari koordinata o’qlariga parallel bo’lgan biror kvadratning ichiga joylashtirish mumkin (2.2-chizmaga qarang).

Bu kvadratning qarama-qarshi tomonlari o’rtalarini tutashtirib, uni to’rtta kvadratlarga bo’lish mumkin.Ulardan hech bo’lmaganda bittasida (2.3) ketma-ketlikning cheksiz ko’p nuqtalari yotadi. Bu bo’lakni bilan belgilaymiz va yuqoridagidek to’rtta teng qismlarga ajratamiz.Y angi bo’laklarning hech bo’lmaganda bittasida (2.3) ketma-ketlikning cheksiz ko’p nuqtalari yotadi. Uni bilan belgilab, bu jarayonni cheksiz davom ettiramiz. Natijada har biri keyingisini o’z ichida saqlovchi, dioganallari uzunliklari da nolga intiluvchi kvadratlar ketma-ketligi hosil bo’ladi. Limitlar nazariyasining asosiy prinsipga ko’ra tekislikning yagona nuqtasi mavjudki, u barcha kvadratlarga bir vaqtda qarashli bo’ladi. Shu nuqta (2.3) ketma-ketlikning limitik nuqtasi bo’lishini ko’rsatamiz. Buning uchun son uchun nuqtaning atrofini olamiz. kvadratlarning tuzilishidan ma’lumki, ular nuqtaga cheksiz tortilib boradi va yetarlicha katta indeksli kvadratlarning barchasi atrofda joylashadi. Ularning har biri (2.3) ketma-ketlikning cheksiz ko’p nuqtalarini saqlagani uchun atrofda ham (2.3) ketma-ketlikning cheksiz ko’p nuqtalari joylashadi.Demak, nuqta (2.3) ketma-ketlikning limitik nuqtasi bo’ladi. 2.2-Teorema isbot bo’ldi.
Bolsano-Veyershtras teoremasidan chegaralangan cheksiz ketma-ketlikning hech bo’lmaganda bitta limitik nuqtaga ega bo’lishi kelib chiqadi.