Maple7 dasturi yordamida Oliy matematika masalalarini yechish

> restart;
> u:=(x,y)->arctan(x/y);y:=x->sqrt(1+x^2);

> Diff(u, x)=diff(u(x,y),x); Diff(u, y)=diff(u(x,y),y); Diff(y,x)=diff(y(x),x);


> dux:=Diff(u,x)=diff(u(x,y),x)+diff(u(x,y),y)*diff(y(x),x);



, ekanligini etiborga olsak,

> ux:=eval(dux,[y=sqrt(1+x^2)]);



8.6. Funksiyaning berilgan yo‘nalish bo‘yicha
hosilasi va gradienti

Bu yerda ham soddalik uchun uch o‘lchovli D sohada anqlangan uch o‘zgaruvchili funksiyani qaraymiz. Shu bilan birga qaralayotgan uch o‘lchovli fazoda biror yo‘nalish berilgan deb faraz qilamiz. Agar D sohaning tayinlangan nuqtasini yo‘nalish bo‘yicha nuqtaga qo‘zg‘atsak va bunda kesma D sohada to‘lig‘icha yotadi deb faraz qilsak, shu yo‘nalish bo‘yicha funksiya orttirmasiga ega bo‘lamiz. Endi M nuqta ga yo‘nalishni saqlagan holda cheksiz yaqinlasha borsin. Agar

limit mavjud bo‘lsa, bu limit ning M₀ nuqtadagi yo‘nalish bo‘yicha hosilasi deb ataladi va
yoki
kabi belgilanadi. Bu yo‘nalish bo‘yicha hosila berilgan yo‘nalish bo‘yicha funksiyaning «o‘zgarish tezligi» dan iborat ekanligini ayqash qiyin emasdir.
Bu o‘rinda xususiy hosilalarni mos ravishda Ox, Oy, Oz o‘qlarining yo‘nalishi bo‘yicha hosilalar ekanligini aytamiz.
Endi yo‘nalish koordinatalar o‘qlari bilan

burchaklar tashkil qiladi deylik (8.6.1-rasm), hamda funksiya M₀ nuqtada barcha argumentlari bo‘yicha xususiy hosilaga ega bo‘lsin. U holda
(8.6.1)
o‘rinlidir.
bo‘lganda burchak ostidagi yo‘nalish bo‘yicha xosila:
(8.6.2)
bo‘ladi.
8.6.1-misol.. Z=2x²-3y² funktsiyning M(1;0) huqtadagi Ox o‘qi bilan 120^o burchak hosil qiluvchi yo‘nalish bo‘yich hosilani toping.
Yechish. M(1;0) huqtadagi funktsiyni xususiy hosilalarini topamiz:


=
Bundan, hosilaning manfiy ligidan bu yo‘nalish yo‘nalish funktsiyaning kamayuvch ekanligi lelib chiqadi.