Мақола ва тезислар номи

dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
(1.5) 
Demak, tenglikning chap, o’ng tomonlarining hosilalari o’zaro teng, ya’ni chap tomonda 
turgan har qanday boshlang’ich funksiyasining hosilasi o’ng tomonda turgan har qanday 
funksiyaning hosilasiga teng. 
6.O’zgarmas ko’paytuvchini integral belgisi ostidan chiqarish mumkin, ya’ni a=const bo’lsa,
 



dx
x
f
a
dx
x
af
)
(
(1.6) 
buni isbotlash uchun ham hosila olamiz. 


 
.
)
(
x
af
dx
x
af



Aniqmas integrallarni hisoblaganda quyidagi qoidalarni nazarda tutish foydali:
1.Agar 
c
x
F
dx
x
f



)
(
)
(
bo’lsa, 
c
ax
F
a
dx
ax
f



)
(
1
)
(
bo’ladi. 
Haqiqatdan ham, 
)
(
)
)
(
(
ax
f
dx
ax
f



---

694 


)
(
)
(
;
)
(
1
)
(
1
)
(
1
x
aF
ax
F
a
ax
F
a
ax
F
a
ax
F
a









2.Agar 
;
)
(
)
(
с
x
F
dx
x
f



bo’lsa, 
c
b
x
F
dx
b
x
f





)
(
)
(
3.Agar: 
c
x
F
dx
x
f



)
(
)
(
bo’lsa, 
c
b
ax
F
a
dx
b
ax
f





)
(
1
)
(
Integrallash metodlarini ko`rib chiqamiz: 
1
0
. O’zgaruvchilarni almashtirish usuli. Aytaylik ushbu 
 

dx
x
f
integral hisoblanishi kerak bo’lsin. Agar 
 
t
x


deyilsa, (
t
-yangi o’zagruvchi, 

- uzluksiz 
differensiallanuvchi funksiya) berilgan integral quyidagi 
 
 
   





dt
t
t
f
dx
x
f


(1.7) 
Ko’rinishga keladi. Bunda 

funksiyani shunday tanlash lozim bo’ladiki, (1.7) tenglikning 
o’ng tomonidagi integral hisoblash uchun qulay usulga kelsin. 
2
0
. Bo’laklab integrallash usuli. Agar 
 
 
x
v
v
x
u
u


,
differensiallanuvchi funksiyalar 
bo’lsa, u holda




vdu
uv
udv
(1.8) 
bo’ladi. Odatda (8) bo’lakalab integrallash formulasi deyiladi. (8) formula 
udv
ning 
integralini 
vdu
ning integral orqali ifodalaydi. Bu formuyladan foydalanish uchun qaraladigan 
integralning ostidagi ifodani 
u
va 
dv
lar ko’paytmasi ko’rinishda yozib olinadi; bunda albatta 
dv
va 
vdu
ifodalarning integralini oson hisoblashni e’tiborga olish lozim. 
Misol.





e
dx
x
x
1
2
ln
Yechish: Bu integralni bo’laklab integrallash formulasidan foydalanib hisoblaymiz: 


















3
,
,
1
ln
2
,
ln
ln
3
2
2
1
2
x
v
dx
x
dv
dx
x
x
du
x
u
dx
x
x
e
Keyingi integral ham bo’laklab integrallash usuli yordamida hisoblanadi: 






e
e
e
xdx
x
e
xdx
x
x
x
1
2
3
1
2
1
2
3
ln
3
2
3
ln
3
2
ln
3













3
,
,
1
,
ln
ln
3
2
1
2
x
v
dx
x
dv
dx
x
du
x
u
xdx
x
e
9
1
9
2
9
1
9
3
9
3
3
1
ln
3
3
3
3
1
3
3
1
2
1
3










e
e
e
x
e
dx
x
x
x
e
e
e
Javob: 


2
5
27
1
27
2
27
4
3
9
1
9
2
3
2
3
3
3
3
3
3















e
e
e
e
e
. 
3
0
.Ratsional funksiyalarni integrallash. Ushbu 
 
m
m
n
n
x
b
x
b
x
b
b
x
a
x
a
x
a
a
x
f









...
...
2
2
1
0
2
2
1
0
Ratsional funksiyaning integrali 
 

dx
x
f
quyidagicha hisoblanadi: 
Agar 
m
n

bo’lsa, kasrning butun qismini ajratib, uni butun ratsinal funksiya va to’g’ri kasr 
ko’rinishida yozib olamiz. Ravshanki, butun ratsiponal funksiyaning integrali oson hisoblanadi.

---

695 
Ma’lumki, to’g’ri kasr soda kasrlar yig’indisi sifatida ifodalanadi. Demak, to’g’ri kasrning 
integrali sodda kasrlar yig’indisi ko’rinishiga keltirilib hisoblanadi. 
Misol. Ushbu integral hisoblang. 
dx
x
x
I
3
cos
2
sin
2
3


Yechish: Bu integral quyidagicha hisoblanadi: 








dx
x
x
x
dx
x
x
x
I
2
6
cos
1
2
4
cos
1
2
sin
3
cos
2
sin
2
sin
2
2
















dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
6
cos
1
4
cos
2
sin
2
sin
4
1
6
cos
1
4
cos
1
2
sin
4
1



 












dx
x
x
x
x
6
cos
1
6
sin
2
sin
2
1
2
sin
4
1








dx
x
x
x
6
cos
1
6
sin
2
sin
3
8
1











dx
x
x
x
x
x
12
sin
12
1
6
sin
8
sin
2
3
4
sin
2
3
2
sin
3
8
1
C
x
x
x
x
x







12
cos
192
1
6
cos
48
1
8
cos
128
3
4
cos
64
3
2
cos
16
3
. 
Javob: 
C
x
x
x
x
x
I






12
cos
192
1
6
cos
48
1
8
cos
128
3
4
cos
64
3
2
cos
16
3
Aniq integrallar, aniq integrallarga doir misollarni ko’ramiz. 
Aniq integral matematik analizning asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, matematika, fizika, 
mexanika va boshqa fanlarda tekshirishning eng kuchli quroli hisoblanadi. 
Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzalarini egri chiziq yoylari uzunliklarini, tezliklarni, 
yo’llarini inersiya momentlarini, va hokazolarini hisoblash ishlarining hammasi aniq integralni 
hisoblashga keltiriladi. 
Aniq integrallarni integrallash metodlaridan foydalanib hisoblaymiz. 
Ushbu integralni hisoblang. 



10
0
2
cos
1
dx
x
Yechish:
x
x
x
sin
2
sin
2
2
cos
1
2




Unda 






10
0
10
0
sin
2
2
cos
1
dx
x
dx
x
bo’ladi. Aniq integralning xossalaridan foydalanib topamiz: 
.
20
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
10
10
9
9
8
4
3
3
2
2
0
10
0



























та
xdx
xdx
xdx
dx
xdx
xdx
dx
x












Demak,
2
20
2
cos
1
10
0





dx
x
. 
2.Aniq integralning geometriya va mexanikadagi tadbiqlarini ko’ramiz
1.To’g’ri burchakli kordinatalar sistemasida yuzalarni hisoblash. Bizga ma’lumki, musbat 
uzluksiz 
)
(
x
f
y

funksiyadan olingan aniq integral 
 
x
f
y

egri chiziq 
a
x

va 
b
x

b
a

to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini ifodalaydi.

---

696 
dx
x
f
S
b
a


)
(
(2.1) 
Agar 
 
b
a
;
kesma 
0
)
(

x
f
bo’lsa, u holda 

b
a
dx
x
f
)
(
aniq integral ham manfiy bo’ladi. 
Absolyut qiymatiga ko’ra bu integral tegishli egri chiziqli trapetsiyaning 
S
yuziga teng.



b
a
dx
x
f
S
)
(
(2.2)
2. Yassi shakl 
 
b
a
;
kesmada aniqlangan 
)
(
x
f
va 
 
x

funksiyalar grafiklari bilan 
chegaralangan bo’lsin. (2-chizma)





b
a
dx
x
x
f
S
)
(
)
(

(2.3)
formula orqali hisoblanadi.
3. 
b
A
aA
n
0
egri chiziqli trapetsiyani ifodalovchi chiziqlar 
)
(
t
x


va 
)
(
t
y


, 
T
t
t


0


zgarmaslar
o
T
t
'
,
0

parametrik funksiyalar bilan berilgan bo’lsa, 
b
A
aA
n
0
ning yuzasi



T
t
dt
t
t
S
0
)
(
)
(


(2.4) 
4. Yassi shakl qutb kordinatalar sistemasida berilgan 
)
(



r
, 
1
0





, 
)
'
,
(
1
0
zgarmaslar
o



funksiya grafigi bilan chegaralangan bo’lsa, uning yuzasi
 



1
0
2
2
1





d
S
(2.5)
formula yordamida hisoblanadi.

2
0


x
bolganda 
x
y
sin

sinusoida va 
Ox
o’q bilan chegaralangan 
S
yuzani hisoblang.













2
2
0
sin
sin
sin
o
dx
x
dx
x
dx
x
S

 

2
)
2
(
1
1
0
cos
cos
cos
sin
/
0
0


















x
dx
x


2
)
2
(
0
cos
2
cos
cos
sin
/
2
0
2
0















dx
x
Demak, 
4
2
2
2
2






S
2-chizma Egri chiziqli trpetsiya 

---

697 
Javob: 
4

S
kv. birlik.
Integral ta’limotini irrigatsiya sohasida, xususan, inshootning sozligi, meliorativ tizimning 
ishga yaroqliligi, meliorativ tizimning texnik holati , texnik xizmat ko’rsatish va ta’mirlash tizimi 
kabi bir qator masalalarni yechishda qo’llash mumkin. Gidrotexnika inshootlarini ishga 
tayyorlashdagi bosqichlar, yer tuzish va yer kadastrida maydon yuzalarini aniqlikda topishda, 
ayniqsa, integrallash usulidan o’z o’rnida foydalansa ancha qulayliklarga ega bo’linadi.