Maktablarda qiyinroq yechiladigan matematik masalalari

Yechilishi murakkabroq bo’lgan algebraik masalalar.
Matematika kursidan yechilishi murakkabroq bo’lgan algebraik tenglamalarga misol sifatida aralashmaga oid masalalar ,bajarilgan ishga oid masalalar va yana bir qancha masalarni keltirishimiz mumkin.
Yechilishi murakkabroq bo’lgan algebraik masalalarga quyidagilarni keltirishimiz mumkin:
1-masala.Ikki ishchi ma’lum muddatda 120 ta detal tayyorlashi kerak edi. Ishchilardan biri ikkinchisiga qaraganda soatiga 2 tadan ortiq detal tayyorlab topshiriqni 5 soat oldin bajaradi. Har bir ishchi soatida nechtadan detal tayyorlagan?
Yechish:
x- birinchi ishchi ishlagan vaqti;
(x-5) – ikkinchi ishchi ishlagan vaqti;
– birinchi ishchi tayyorlagan detallar soni;
– ikkinchi ishchi tayyorlagan detallar soni;
Yuqoridagilarga asoslanib quyidagi tenglamani tuzishimiz mumkin.
;
120x – 120x +600 = 2x² -10x ;
2x² – 10 x -600 =0 / 2 ;
X² -5x – 300 =0;

x₁ =20 ; x₂= -15
bulardan 1 – ishchi 20 soat ikkinchi ishchi esa 15 soat ishlagani kelib chiqadi.
ta birinchi ishchining 1 soatda tayorlagan detallari soni.
ta ikkinchi ishchining 1 soatda tayyorlagan detallari soni.
Masalani yechib bo’lgach o’qituvchi o’quvchilarga masalaning yechish jarayonini yana birmarta og’zaki ravishda tushuntirishi va mehnat unumdorligi hamda vaqt bir biriga teskari proporsional ekanligini tushuntirishi lozim.
2-masala.Oldingi bahosi 25 so’m bo’lgan buyum ketma-ket ikki marta bir xil foizga arzonlashgach, u 20 so’m 25 tiyinga tushib qoldi.Har bir arzonlashishda baho necha foizga pasaygan ?
Yechish:
Baho har safar x% ga pasaygan bo’lsin.Ravshanki, 0≤x≤100 bo’ladi.
Bu birinchi arzonlashishdan keyin buyum bahosi oldingi bahosining qismiga kamayganini bildiradi.Demak,birinchi arzonlashishdan keyin buyum
y= so’m turadi.ikkinchi marta arzonlashishdan keyin esa,buyum
z= so’m turadi.
Lekin, ikkita arzonlashishdan keyin buyum 20 so’m 25 tiyin turadi ,ya’ni z=
so’m.
Demak, tenglamaga ega bo’lamiz.
Tenglamani yechib x₁=10 hamda x₂= 190 ildizlarini topamiz. Bu yerda x₂ chet ildiz bo’ladi. Chunki 0≤ x≤100 va masala shartini x₁ = 10 qanoatlantiradi.
Javob: baho har safar 10% ga kamaygan.

3-masala.Uchta eritmada spirtning foiz miqdorlari geometrik progressiyani tashkil etadi.Agar birinchi,ikkinchi va uchinchi eritmalarni 2:3:4 massa nisbatida aralashtirilsa, u holda 32% li spirtli eritma hosil bo’ladi. Agar ularni 3:2:1 massa nisbatida aralashtirilsa, u holda 22% li spirtli eritma olinadi.Har bir eritmada necha foiz spirt bor?

Yechish:
Birinchi eritmada x% ikkinchisida y% uchinchisida z% spirt bo’lsin. Masala shartiga ko’ra x,y,z sonlar geometrik progresiyani tashkil qiladi.shuning uchun y²=xz bo’ladi.
Birinchi eritmaning 1 gramida g , ikkinchi eritmaning 1 gramida g , uchinchi eritmaning 1 grammida g spirt bor. Agar biz birinchi eritmadan 2 g ,ikkinchi eritmadan 3 g va uchinchi eritmadan 4 g olsak, 9 g aralashma olinadi. Bu aralashmada
g spirt bor.
Masala shartiga ko’ra olingan aralashmaning 32% i spirtdan iborat, g spirt bor.
Bu shartlardan tenglama hosil bo’ladi.
Huddi shuningdek, tenglama ham hosil bo’ladi.
Yuqoridagilar asosida:
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz va uni yechamiz.
Birinchi ikkita tenglamani y va z bo’yicha yechib va olingan qiymatlarni uchinchi tenglamaga qo’yib, x² -76x + 768 =0 tenglamani hosil qilamiz.Hosil bo’lgan tenglamani yechib uning x₁ = 64, x₂=12 ildizlarini topamiz. Lekin x₁=64 ildiz masala shartini qanoatlantirmaydi,chunki unga mos y=48-2x qiymat manfiy bo’yicha bo’ladi.Demak,faqat x=12 qoladi. U holda bu qiymat bo’yicha y=24 va z=48 ekanligini topamiz.
Javob:Birinchi eritmada 12%, Ikkinchi eritmada 24%, uchinchi eritmada 48% spirt bor.