Майер роберт Валерьевич основы компьютерного моделирования: Учебное пособие. Глазов: ггпи, 2005. 25 с

1. 
МЕТОДЫ 
ЧИСЛЕННОГО 
ИНТЕГРИРОВАНИЯ 
И 
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 
1. Задача. Для известной функции 
, определите первую и вторую 
производные в точке с координатой , а также интеграл в интервале 
от до
2. Теория. Пусть задана функция 
. Разобъем интервал от до на 
элементарные отрезки длиной 
, получив конечное множество узлов 
сетки 
где 
а 
-- число узлов. В результате 
функция непрерывного аргумента будет заменена функцией дискретного 
аргумента 
. Тогда левая, правая и центральная разностные 
производные первого порядка в точке с координатой 
соответственно 
равны: 
Чем меньше шаг сетки , тем выше точность найденных производных. 

---

Вторая производная определяется из выражения: 
Интеграл функции численно равен площади криволинейной трапеции, 
ограниченной 
графиком 
этой 
функции 
и 
пределами 
интегрирования 
Если эту трапецию разбить на 
прямоугольных 
полосок 
шириной 
, 
длина 
каждой 
из 
которых 
равна 
то площадь будет примерно равна:
Чем меньше шаг и, соответственно, больше 
, тем точнее найденное 
значение интеграла. Этот метод называется методом прямоугольников. 
Более точный метод трапеций заключается в том, что каждая -ая полоска 
рассматривается 
как 
трапеция 
высотой с 
длинами 
оснований 
и 
, поэтому ее площадь 
равна 
Интеграл 
функции 
равен 
сумме 
всех 
элементарных площадей этих трапецевидных полосок: 
Метод Монте-Карло нахождения площади криволинейной трапеции под 
кривой 
состоит в следующем. Представим себе прямоугольник, 
ограниченный 
пределами 
интегрирования и , 
осью и 
горизонталью 
внутри 
которого находится эта криволинейная 
трапеция. Площадь прямоугольника равна 
Задавая случайным 
образом координаты 
поместим внутрь прямоугольника 
точек. 

---

Подсчитаем число точек, оказавшихся внутри криволинейной трапеции, то 
есть 
удовлетворяющих 
условию 
Площадь 
криволинейной 
трапеции будет во столько раз меньше площади выбранного прямоугольника, 
во 
сколько 
раз меньше 
. 
Поэтому 
при 
дробь 
стремится к пределу, равному искомому 
интегралу: