M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

Nyuton-Leybnits
 
teoremasi
. Agar 
)
( x
F
 funksiya uzluksiz boʻlib, u 
)
( x
f
y

 
funksiyaning biror-bir boshlang‘ich funksiyasi boʻlsa, u holda  
( )
( )
( )
b
a
f x dx F b
F a



   
 
 
 
 (3)
Nyuton- Leybnits formulasi oʻrinli boʻladi. 
 
Demak, aniq integralning geometrik ma’nosi egri chiziqli trapetsiyaning yuzi ekan. 
 1-misol.
 
[0;1]
 kesmada aniqlangan 



3
2
( )
3
x
x
f x
x
e
x
e



 egri chiziq, 
Ox
 koordinata oʻqi, 
0
x

 va 
1
x

 toʻg‘ri chiziqlar bilan chegaralangan sohaning 
yuzini toping.  
 Yechish.
 Bunday sohalar egri chiziqli trapetsiya deb ataladi. 
 

 
150 
Birinchi navbatda 



3
2
( )
3
x
x
f x
x
e
x
e



 funksiyaning aniqmas integrallaridan 
birini topib olamiz 
(
0 )
C

: 





2
3
3
2
( )
3
2
x
x
x
x
e
F x
x
e
x
e dx






. 
Endi (3) formuladan foydalanib sohaning yuzini topamiz: 


 

1
2
3
1
3
2
0
0
3
6,38,
2,71
2
x
x
x
x
x
x
e
S
x
e
x
e
e










. 
 2-misol.
 
[0; 3]
 kesmada aniqlangan 
2
( ) 3
x
f x
xe

 egri chiziq, 
Ox
 koordinata 
oʻqi, 
0
x

 va 
3
x

 toʻg‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya 
yuzini toping. 
 Yechish.
 Birinchi navbatda 
2
( ) 3
x
f x
xe

 funksiyaning aniqmas 
integrallaridan birini topib olamiz 
(
0 )
C

: 
2
2
3
( )
3
2
x
x
e
F x
xe dx



. 
Endi (3) formuladan foydalanib sohaning yuzini topamiz: 


2
2
3
3
9
9
0
0
3
3
3 3
3
1 ,
2,71
2
2
2
x
x
x
x
e
e
S
xe dx
e
e










. 
 3-misol.
 
0;
3







 kesmada aniqlangan 
( )
2 s in 3
f x
x

 egri chiziq, 
Ox
 
koordinata oʻqi, 
0
x

 va 
3
x

  toʻg‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli 
trapetsiya yuzini toping. 
 Yechish.
 Birinchi navbatda 
( )
2 s in 3
f x
x

 funksiyaning aniqmas 
integrallaridan birini topib olamiz 
(
0 )
C

: 
2cos3
( )
2sin 3
3
x
F x
xdx

 

. 
Endi (3) formuladan foydalanib sohaning yuzini topamiz: 
3
3
0
0
2cos3
4
2sin3
3
3
x
x
x
S
xdx





 


. 
 Mashqni 
bajaring.
 Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli 
trapetsiyaning yuzini toping: 
 1)
( )
4 cos 2 ,
f x
x

 
2
0,
,
0;
3
x
x
y



   

 
151 
 2) 
2
( ) 2
4
3,
f x
x
x


  
0,
2,
0.
x
x
y



  
 
Aniq integralni aniq hisoblashning asosiy yagona usuli, integral ostidagi 
funksiya uchun boshlang‘ich funksiyani aniqlash va soʻngra Nyuton – Leybnits 
formulasini qoʻllashdir. Aniq integralni hisoblashda qoʻllaniladigan boshqa usullar 
bilan tanishib chiqamiz. 
 
Aniq integralni hisoblash usullari. Aniq integralda oʻzgaruvchini 
almashtirish
. Aniq integralda oʻzgaruvchini almashtirish quyidagicha amalga 
oshiriladi: 
 

b
a
dx
x
f
)
(
 
integral berilgan boʻlib, 
)
( x
f
 funksiya 
 
b
a ;
 kesmada uzluksiz boʻlsin. 
 
t
x


 
almashtirish bajaramiz. Bunda 
 
,
'( )
t
t


 funksiyalar 


;
 
 kesmada uzluksiz 
boʻlishi kerak. Bu yerda 
 
 
,
a
b
 
 

 . Shunday qilib, 
 


 
( )
'
b
a
f x dx
f
t
t dt







. 
 4-misol
. Integralni hisoblang: 
1) 
9
1
5 2
dx
x


  
 
2) 
/ 3
5
/ 6
cos
sin
x
dx
x



 
 Yechish. 
1) Bu integralda 
x t

almashtirishni bajaramiz. U holda 
2
,
x t

2
.
dx
tdt

 
1
x

da 
1,
t

 
9
x

da 
3.
t

 Demak,  


9
3
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
5 5
5
1
1
5
ln 2
5
5 2
2
5
2
5
2
5 2
5
5 11
3 1
ln11 ln7
2
ln .
2
2
7
dx
tdt
t
dt
dt t
t
t
t
t
x
 






  










  

 




 
 2) 
sin x
t

deb almashtirish bajaramiz. U holda 
cos
,
xdx
dt

6
x

 da, 
1
,
2
t

 
3
x

 da 
3
.
2
t

  
3 /2
/3
3 /2
5
5
4
1/2
/6
1/2
cos
1
1
16
32
16
sin
4
4
9
9
x
dx
t dt
x
t






 









. 
 
Mashqni bajaring.
 Quyidagi integrallarni oʻzgaruvchilarni almashtirish 
usulidan foydalanib hisoblang: 
1) 
9
1
;
5 2
dx
x


  
 
2) 
ln 2
0
.
1
z
dz
e


 
 
Aniq integralda boʻlaklab integrallash quyidagicha amalga oshiriladi: 

 
152 
 
)
( x
u
 va 
)
( x
v
 funksiyalar 
 
b
a ;
 kesmada differensiallanuvchi funksiyalar boʻlsin. 
U holda aniq integralda boʻlaklab integrallash quyidagi formula 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
b
b
b
a
a
a
u x dv x
u x v x
v x du x




 
 
 
(4) 
boʻyicha amalga oshiriladi. 
 5-misol
. Integralni toping: 
1) 
3
2
1
ln
;
x
xdx

             2) 
2
0
cos
;
x
xdx


                3) 
2
0
.
x
xe dx

 
 Yechish.
 1) 
3
2
1
ln
x
xdx

 koʻrinishdagi integrallarni hisoblashda boʻlaklab 
integrallash qoidasidan foydalanamiz. Bunda 
dx
x
dv
x
u
2
,
ln


 belgilashlar 
kiritamiz. U holda, 
3
,
3
dx
x
du
v
x


 ifodalar hosil boʻladi. Endi esa (4) formulani 
qoʻllaymiz: 
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
1
1
1
1
1
26
ln
ln
ln
9 ln 3
3
3
3
9
9
x
x dx
x
x
x
xdx
x
x
x








. 
 2) 
2
0
cos
x
xdx


 koʻrinishdagi integrallarni hisoblashda ham boʻlaklab 
integrallash qoidasidan foydalanamiz. Bunda 
,
c o s
u
x d v
x d x


 belgilashlar 
kiritamiz. U holda, 
,
sin
d u
d x v
x


 ifodalar hosil boʻladi. Endi esa (4) formulani 
qoʻllaymiz: 
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
cos
sin
sin
sin
cos
1
2
x
xdx x
x
xdx x
x
x










 


.  
 3) 
2
0
x
xe dx

 koʻrinishdagi integrallarni hisoblashda ham boʻlaklab integrallash 
qoidasidan foydalanamiz. Bunda 
,
x
u x dv e dx


 belgilashlar kiritamiz. U holda, 
,
x
du dx v e

  ifodalar hosil boʻladi. Endi esa (4) formulani qoʻllaymiz: 
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
.
x
x
x
x
x
xe dx xe
e dx xe
e
e







 
 
Mashqni bajaring.
 Quyidagi integrallarni boʻlaklab integrallash qoidasidan 
foydalanib hisoblang: 
1) 
3
2
1
ln(
3) ;
x
x
dx


           2) 
2
0
cos
;
x
xe dx

            3) 
2
0
(cos
sin ) .
x
x
x dx



 

 
153 
 Integralni 
hisoblashni 
osonlashtiradigan ba’zi xossalarni keltirib oʻtamiz: 
 1) 
)
( x
f
 funksiya toq, ya’ni
(
)
( )
f
x
f x

 
 boʻlsa, u holda  



a
a
dx
x
f
;
0
)
(
 
 2) 
)
( x
f
 funksiya juft, ya’ni 
(
)
( )
f
x
f x


 boʻlsa, u holda 
0
( )
2
( )
a
a
a
f x dx
f x dx




. 
 
Aniq integralning ba’zi tatbiqlarini koʻrib chiqamiz. 
 
Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash
. 
 
b
a ,
 kesmada aniqlangan 
)
( x
f
y

 
silliq chiziqni qaraymiz. Bu egri chiziqning 
b
x
a
x

 ,
 toʻg‘ri chiziqlari bilan 
chegaralangan yoyining uzunligi  
 
 
2
1
'
b
a
l
y
dx



   
 
 
 
 
(5) 
formula boʻyicha hisoblanadi. 
 6-misol.
 
ln s in
y
x

egri chiziqning 
1
3
x

  dan 
2
2
3
x


gacha boʻlgan 
yoyining uzunligini hisoblang.  
 Yechish.
 
ln sin ,
y
x

 
cos
,
sin
x
y
x
 
 
 
2
2
2
cos
1
1
1
,
sin
sin
x
y
x
x





 
2
;
.
3 3
x




 



 
AB yoyning 
l
uzunligini hisoblaymiz: 
2
3
3
2
1
3
ln
ln 3 ln
2ln 3.
sin
2
3
3
dx
x
l
tg
x










 
 Mashqni 
bajaring
. Quyidagi yoylarning uzunliklarini hisoblang:  
1) 
2
,
[1;3];
2
x
y
x


  
 
2) 
2
(
1)
,
[0;3].
2
x
y
x



 

 
154 
 
Yassi sirt yuzini hisoblash
. Bizga 
)
( x
f
y

 egri chiziq, 
b
x
a
x

 ,
 toʻg‘ri 
chiziqlar va 
Ox
 oʻqi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi  
( )
b
b
a
a
S
f x dx
ydx




 
formula boʻyicha hisoblanishi ma’lum. 
2
( )
y f x

 va 
1
( )
y f x

 egri chiziqlar bilan 
chegaralangan yassi sirt 
 
yuzi quyidagi formula bilan topiladi: 
 
 
2
1
b
a
S
f x
f x dx







  
 
 
 
(6) 
Bu yerda 
a
 va 
b
 sonlar yuqoridagi egri chiziqlar kesishish nuqtalarining 
absissalari. Bu yerda
2
1
( )
( ).
f x
f x

  
 
7-misol.
 
2
6
y x

  va 
2
5
6
y
x
x
  
  egri chiziqlar bilan chegaralangan 
yassi sirtning yuzini hisoblang. 
 Yechish. 
Bu egri chiziqlarning tenglamalaridan foydalanib quyidagi 
tenglamalar sistemasini tuzib olamiz:
 
2
2
6,
5
6.
y x
y
x
x
 



  


 
Bu sistemadan 
1
0,
x

2
2,5
x

 ni topamiz. Izlanayotgan yuza: 




2,5
2,5
2
2
2
0
0
5
5
6
6
2
5
5
.
24
S
x
x
x
dx
x
x dx

 
 







 
 
Aylanma jism hajmi va sirtini hisoblash. 
Uzluksiz 
)
( x
f
y

 egri chiziq, 
absissalar oʻqi hamda 
,
(
)
x
a
x
b
a
b



 toʻg‘ri chiziqlar bilan chegaralangan 
egri chiziqli trapetsiyani 
Ox
  oʻqi atrofida aylantirishdan hosil boʻlgan jism 
hajmini 

 
155 
 


2
( )
b
a
V
f x dx



   
 
 
 
 
(7) 
formula bilan hisoblaymiz.  
 
Xuddi shunga oʻxshash, uzluksiz 
 
y
x


 egri chiziq, ordinatalar oʻqi va 


,
y c y d
c d



 toʻg‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli 
trapetsiyaning 
O y
 oʻq atrofida aylanishidan hosil boʻlgan jism hajmini  
 
 
2
d
c
V
y
dy
 






 
 
 
 
 
(8)
 
formula bilan hisoblaymiz.  
 
8-misol.
 Radiusi 
R  ga teng boʻlgan, markazi 
Ox
 oʻqida joylashgan yarim 
doirani 
Ox
  oʻqi atrofida aylantirishdan hosil boʻlgan jismning hajmini toping. 
 
Yechish. 
Ma’lumki, radiusi 
R  ga teng boʻlgan, markazi 
Ox
  oʻqida 
joylashgan yarim doirani 
Ox
 oʻqi atrofida aylantirishdan hosil boʻlgan jism radiusi 
R  ga teng boʻlgan shardir. Uning hajmini topish formulasini keltirib chiqaramiz. 
Yarim aylananing 
0
y

 tekislikdagi tenglamasi: 
2
2
y
R
x


. U holda (7) 
formulaga asosan  


3
3
2
2
2
4
3
3
R
R
R
R
x
R
R
x dx
R x
















. 
 

 
156 
 
Mashqni bajaring
.  
 1) 
2
2
,
y
x
x


2
y
x
  
 chiziqlar bilan chegaralangan shaklning 
Ox
oʻqi 
atrofida aylanishidan hosil boʻlgan jismning hajmini toping. 
 2) 
2
2
4,
,
0
y
x
y x
x
  

  chiziqlar bilan chegaralangan shaklning 
O y
oʻqi atrofida aylanishidan hosil boʻlgan jismning hajmini toping. 
 
Aylanish jismlari sirtining yuzi.
 
b
x
a
x

 ,
 toʻg‘ri chiziqlar bilan 
chegaralangan 
)
( x
f
y

 egri chiziqning 
Ox
  oʻqi atrofida aylanishidan hosil 
boʻlgan sirt yuzini 
x
S
 
 
2
2
1
'
b
x
a
S
y
y dx




   
 
 
 
(9) 
formula bilan hisoblaymiz.  
 
Xuddi shunga oʻxshash, 
d
y
c
y

 ,
 toʻg‘ri chiziqlar bilan chegaralangan 
uzluksiz 
 
x
y


 egri chiziqning 
O y
 oʻqi atrofida aylanishidan hosil boʻlgan sirt 
yuzini  
2
2
1 ( ')
d
y
c
S
x
x dy




   
 
 
 
(10) 
formula bilan hisoblaymiz. 
 
9-misol.
 
sin 2
y
x

sinusoidaning 
0
x

dan 
2
x

 gacha boʻlgan yoyini 
Ox
 
oʻqi atrofida aylantirishdan hosil boʻladigan sirt yuzini toping. 
 Yechish. 
2cos2
y
x
 
 u holda 
2
2
0
2
sin 2
1 4 cos 2
.
x
S
x
xdx





 
 
О‘zgaruvchini almashtiramiz: 
2 cos 2
,
x
t

4 sin 2
,
xdx
dt


 
1
sin2
.
4
xdx
dt
 
 
t
  bо‘yicha integrallash chegaralarini topamiz: agar 
0
x

  bо‘lsa, u holda 
2 ;
t

 
agar 
2
x

  bо‘lsa, u holda 
2.
t
 
 
 
Shunday qilib,  
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
4
2
S
t
dt
t dt


















 


2
2
2
2
1
1
5 2
1
ln
1
2 5
ln
2 2
2
2
2
5 2
t
t
t
t
























