M sohasi: im yoʻnalis oliy V t “o iqtis matem

 4-misol.
 Integralni toping: 1) 
3
3
1
;
(
1)
x
dx
x x



 2) 
3
1
.
1
x
dx
x



   
 Yechish.
 1) 
3
3
1
(
1)
x
dx
x x



integralni hisoblash uchun uni quyidagi koʻrinishda 
yozib olamiz: 
3
3
2
3
1
(
1)
1
(
1)
(
1)
x
A
B
C
D
x x
x
x
x
x









. 
Bundan 
3
3
2
1
(
1)
(
1)
(
1)
x
A x
Bx x
Cx x
Dx
 




 
 ayniyatni hosil qilamiz. 
Bu ayniyatdan quyidagi tenglamalar sistemasini hosil boʻladi: 
1,
3
2
0,
3
0,
1.
A B
A
B C
A B C D
A
 

    


   


 

 
Sistemaning yechimi: 
1,
2,
1,
2
A
B
C
D
 



. U holda 

 
130 
3
3
2
3
1
2
2
(
1)
1
(
1)
(
1)
x
dx
dx
dx
dx
dx
x x
x
x
x
x

 













 
2
1
1
ln
2 ln
1
1 (
1)
x
x
C
x
x
 

 




. 
 2) 
3
1
1
x
dx
x



 integralni hisoblash uchun uni quyidagi koʻrinishda yozib 
olamiz: 
3
2
2
1
1
1
(
1)(
1)
1
1
x
x
A
Mx
N
x
x
x
x
x
x
x








 

 
. 
Bundan 
2
1
(
1)
(
1)
(
1)
x
A x
x
Mx x
N x
 
  
 
  ayniyatni hosil qilamiz. Bu 
ayniyatdan quyidagi tenglamalar sistemasini hosil boʻladi: 
0,
1,
1.
A M
A M N
A N



   

   

 
Sistemaning yechimi: 
2
2
1
,
,
3
3
3
A
M
N
 

  . U holda 
2
3
3
2
2
3
1
2
1
2
1
1
ln
ln
1
1
3
1 3
1
(
1)
x
dx
x
dx
dx
x
x
C
x
x
x
x
x


 



  


 




. 
 
Mashqni bajaring.
 Quyidagi integrallarni toping:  
1)
2
3
1
;
1
x
dx
x



         2) 
2
6
1
;
1
x
x
dx
x
 


          3) 
3
8
1
.
1
x
dx
x



 
 
Endi aniqmas integralning iqtisodiyotga ba’zi tatbiqlari bilan tanishib 
chiqamiz. 
 
Agar firmaning marjinal daromad funksiyasi 
( )
M R Q
 berilgan boʻlsa, ya’ni  
( )
( )
M R Q
f Q

 
funksiya ma’lum boʻlsa, u holda firmaning yalpi daromad funksiyasi quyidagi 
aniqmas integral yordamida topiladi: 
 
( )
( )
( )
R Q
M R Q dQ
f Q dQ
F Q
C






.   (10) 
Bu yerda 
( )
F Q

boshlang‘ich funksiya. 
 5-misol. 
Firmaning marjinal daromad funksiyasi  
( )
1 5 0
1 5
M R Q
Q


 
koʻrinishida berilgan. Agar 
10
Q

 birlik mahsulot ishlab chiqarilganda firmaning 
umumiy daromad 
( )
1000
R Q

 sh.p.b. ni tashkil etsa, u holda yalpi daromad 
funksiyasi qanday koʻrinishda boʻladi? 
 Yechish. 
Umumiy daromad funksiyasi 
(
)
R Q
 ni quyidagi integraldan 
foydalanib topamiz: 

 
131 
2
15
( )
(150 15 )
150
.
2
Q
R Q
Q dQ
Q
C






 
10,
( )
1000
Q
R Q


 boʻlganidan foydalanib, 
250
C

 ekanligini aniqlaymiz. 
Demak, firmaning yalpi daromad funksiyasi  
 
2
15
150
250
2
Q
R Q
Q



 
koʻrinishda boʻladi. 
 
Xuddi shuningdek, marjinal xarajat va foyda funksiyalari ma’lum boʻlganda 
umumiy xarajat va yalpi foyda funksiyalarini ham aniqmas integraldan foydalanib 
topish mumkin. 
 6-misol
. Firmaning marjinal xarajat funksiyasi 
 
2
3
8
MC Q
Q
Q



 
koʻrinishga ega. Agar 
0
Q

 da firmaning xarajati 
250
 sh.p.b. ni tashkil etsa, u 
holda uning umumiy xarajat funksiyasini toping. 
 Yechish.
 Umumiy xarajat funksiyasi 
(
)
C Q
 ni quyidagi integraldan 
foydalanib topamiz: 
 
2
3
8.
dC Q
MC
Q
Q
dQ




 
 


2
3
8
.
C Q
Q
Q
dQ




 
 
2
3
2
1
1
3
8
3
8
,
3
2
C Q
Q dQ
QdQ
dQ
Q
Q
Q
k
















 
 
250,
C Q

 
0
Q

 da 
250.
k

 
Demak, umumiy xarajatlar funksiyasi quyidagi koʻrinishda boʻladi: 
 
3
2
1
3
8
250.
3
2
C Q
Q
Q
Q




 
 7-misol.
 Firmaning marjinal foyda funksiyasi 
 
2
3
100
200.
MF Q
Q
Q
 


 
kо‘rinishiga ega. Agar 
10
Q

birlik mahsulot ishlab chiqarganda firmaning foydasi 
1500
F

 sh.p.b. ga teng bо‘lsa, u holda uning yalpi foyda funksiyasi qanday 
kо‘rinishga ega bо‘ladi?  
 Yechish
. Marjinal foyda funksiyasi ma’lum bо‘lganda yalpi foyda 
funksiyasini quyidagi integral yordamida topamiz: 
2
3
2
( )
( )
( 3
100
200)
50
200
.
F Q
MF Q dQ
Q
Q
dQ
Q
Q
Q C





 





 
10
Q

da  
1500
F

 ekanligini nazarga olib, 
500
С

ekanligini topamiz. Demak, 
yalpi foyda funksiyasi 
3
2
( )
5 0
2 0 0
5 0 0
F Q
Q
Q
Q
 



, 
kо‘rinishga ega. 

 
132 
 
Ma’lumki, marjinal mehnat unumdorligi 
 
MQ L ishlab chiqarish funksiyasi 
 
Q L dan olingan birinchi tartibli hosiladan iborat. Shu sababli ishlab chiqarish 
hajmini mehnatning funksiyasi sifatida aniqlash uchun marjinal mehnat 
unumdorligini integrallaymiz, ya’ni  


.
)
(
)
(
dL
L
MQ
L
Q
 
 8-misol
. Marjinal mehnat unumdorlik funksiyasi quyidagi kо‘rinishda 
berilgan. 
.
1
5
)
(


L
L
MQ
 
Agar ishlab chiqarishda  
4
L
 ta kishi ishlaganda 10 ta mahsulot ishlab chiqarilsa, 
u holda ishlab chiqarish funksiyasi qanday kо‘rinishda bо‘ladi? 
 Yechish
. Ishlab chiqarish funksiyasi 
( )
Q L
 ni quyidagi integraldan 
foydalanib topamiz: 
.
10
1
5
)
(
)
(
C
L
L
dL
L
dL
L
MQ
L
Q














 
4
L

 da   
( ) 10
Q L

 ekanligini inobatga olib 
4
С

 ekanligini aniqlaymiz. Demak, 
ishlab chiqarish funksiyasi  
4
10
)
(



L
L
L
Q
, 
kо‘rinishga ega ekan. Deylik, talab egiluvchanlik funksiyasi  
,
)
(
)
(
)
(
)
(
P
f
P
f
P
Q
P
P
f
P
E
D
Q
D






    
 
 
  (11) 
ma’lum bо‘lsin. U holda talab funksiyasi aniqmas integral yordamida aniqlanadi. 
Buning uchun (11) ifodadan  
,
)
(
)
(
)
(
P
f
P
f
P
P
E
D
Q


 
tenglikni hosil qilib, uning ikki tomonini integrallaymiz. 





.
)
(
)
(
)
(
C
dP
P
P
E
dP
P
f
P
f
D
Q
 
 9-misol
. Talabning narx bо‘yicha egiluvchanlik funksiyasi 
,
13
0
,
170
)
(
2
2





P
P
P
P
E
D
 
kо‘rinishga ega. Agar tovar narxi 
7
P

sh.p.b. ga teng bо‘lganda unga bо‘lgan talab 
5 5 0
D
Q

 bо‘lsa, u holda talab funksiyasi qanday kо‘rinishda bо‘ladi? 
 Yechish. 
.
170
)
(
)
(
;
170
)
(
2
2
2
P
P
P
f
P
f
P
P
Q
P
P
f
D









 
Hosil bо‘lgan tenglikning ikki tomonini integrallaymiz: 

 
133 
.
170
)
(
)
(
2
dP
P
P
dP
P
f
P
f






 
va quyidagiga ega bо‘lamiz: 
.
ln
)
170
ln(
2
1
)
(
ln
2
C
P
P
f



 
Bu tenglikdan 
 
f P
funksiyani aniqlaymiz. 
2
170
)
(
P
C
P
f


, 
Bu tenglikka boshlang‘ich shartlarni qо‘yib topamiz. 
.
50
121
550
49
170
550






C
C
C
 
Demak, talab funksiyasi 
2
( ) 50 170
,
f P
P


 
kо‘rinishga ega. 
 
Agar taklif egiluvchanligi  
,
)
(
)
(
)
(
)
(
P
P
P
Q
P
P
P
E
S
Q
S









 
   
 
(12) 
ma’lum bо‘lsa, u holda taklif funksiyasi 
( )
P

 aniqmas integral yordamida topiladi. 
Buning uchun (12) tenglikni quyidagi  
,
)
(
)
(
)
(
P
P
E
P
P
S
Q




 
kо‘rinishda yozamiz. Sо‘ngra tenglikning ikki tomonini integrallaymiz va topamiz: 





.
)
(
)
(
)
(
C
dP
P
P
E
dP
P
P
S
Q


 
 10-misol
. Taklifning narx bо‘yicha egiluvchanlik funksiyasi 
2
12
39
( )
(3 2 )(15 3 )
S
P
P
E P
P
P




 
kо‘rinishga ega. Agar tovar narxi   
3
P

 sh.p.b. ga teng bо‘lganda taklif 
1080
S
Q

 
birlik bо‘lsa, u holda taklif funksiyasi qanday kо‘rinishda bо‘ladi? 
 Yechish.
 Masalaning shartiga kо‘ra, 
2
12
39
( )
.
(3 2 )(15 3 )
S
P
P
P
P
Q
P
P






 
Bundan 
.
)
3
15
)(
2
3
(
39
12
)
(
)
(
)
(
P
P
P
P
P
Q
P
S










 
Ushbu tenglikning ikki tomonini integrallab topamiz: 
12
39
ln ( )
.
(3 2 )(15 3 )
P
P
dP
P
P






 

 
134 
Bundan 
C
P
P
P
ln
)
3
15
)(
2
3
ln(
)
(
ln





 
va nihoyat 
)
3
15
)(
2
3
(
)
(
P
P
C
P




 
funksiyani hosil qilamiz. 
Bundan, boshlang‘ich shartlarni nazarga olib topamiz: 
.
5
)
9
15
)(
6
3
(
1080
)
3
(






C
C

 
Demak, taklif funksiyasi 
)
3
15
)(
2
3
(
5
)
(
P
P
P




 
kо‘rinishda bо‘ladi. 
 Ma’lumki, 
agar 
( )
M t

kattalik biror-bir kompaniyaning 
t
 vaqtdagi fondini 
ifodalasa, u holda 
( )
dM t
dt
 kattalik bu kompaniyadagi 
dt
 vaqtdagi pul oqimi 
bildiradi. Faraz qilamiz qandaydir bankda bir yillik pul oqimi oʻzgarmas 
( )
dM t
k const
dt
 
 boʻlsin. U holda bu bankning 
t
 vaqtdagi fondi quyidagicha 
aniqlanadi:  
( )
M t
kdt
kt
C




. 
 
Oʻz- oʻzini tekshirish uchun savollar 
1.
 
Aniqmas integral nima (son, funksiya, funksiyalar toʻplami)? 
2.
 
Asosiy integrallar jadvali integralning qaysi xossasiga asoslanib tuzilgan? 
3.
 
Aniqmas integralning xossalarini ayting. 
4.
 
Qanday integrallash qoidalarini bilasiz? 
5.
 
Qanday integrallash usullarini bilasiz? 
6.
 
Bevosita integrallash usuli nimalarga asoslangan? 
7.
 
Aniqmas integralda oʻzgaruvchini almashtirish usuli qanday bajariladi? 
8.
 
Aniqmas integralda boʻlaklab integrallash qanday amalga oshiriladi? 
9.
 
Qanday trigonometrik ifodalarni integrallashda 
cos x t

 almashtirish 
maqsadga muvofiq boʻladi? 
10.
 
 Qanday trigonometrik ifodalarni integrallashda 
tgx t

 almashtirish maqsadga 
muvofiq boʻladi? 
 
 

 
135 
34-mavzu. Integrallash metodlari 
 
Reja:
 
34.1.
 
Ratsional ifodalarni integrallash. 
34.2.
 
Irratsional ifodalarni integrallash. 
34.3.
 
Trigonometrik almashtirishlar yordamida integrallash. 
34.4.
 
Eyler almashtirishi yordamida integrallash. 
 
 Tayanch 
soʻz va iboralar: 
aniqmas integral, ratsional ifodalar, integrallash, 
trigonometrik almashtirishlar, irratsional ifodalarni integrallash, Eyler 
almashtirishlari.
 
 
 
Aniqmas integralni integrallash usullari bilan tanishib chiqamiz. 
 
Irratsional funksiyalarni integrallash usullari. Har qanday ratsional 
funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari elementar funksiya boʻlishini va ularni 
hisoblash usullarini koʻrib chiqdik. Lekin har qanday irratsional funksiyaning 
boshlang‘ich funksiyalari elementar funksiya boʻlavermaydi. Biz hozir 
boshlang‘ich funksiyalari elementar boʻladigan ba’zi bir sodda irratsional 
funksiyalarni integrallash bilan shug‘ullanamiz. Ular asosan biror almashtirish 
yordamida ratsional funksiyaga keltiriladigan funksiyalardir. Biz quyida ulardan 
ba’zilarini koʻrib chiqamiz.
 
 1. 
2
1
2
1
1
1
2
2
( ,
,
,...,
)
( , ,
, ,...,
,
k
k
n
n
m
m
m
n
k
k
I
R x
x
x
x
dx
m n m n
m n



 
butun 
sonlar)
 
koʻrinishdagi integrallarni hisoblash.  
 Bu 
koʻrinishdagi integrallar 
s
x t

, bu yerda 
1
2
1
2
,
,...,
k
k
m
m m
s
n n
n

 
funksiyalarning umumiy maxraji, almashtirish natijasida ratsional funksiya 
integraliga keltiriladi: 
1
2
1
2
1
2
1
( ,
,
,...,
)
( , , ,..., )
k
k
k
n
n
n
m
r
m
m
r
r
s
s
R x
x
x
x
dx
R t t t
t st dt




. 
 2. 
1
,
,...,
n
ax b
ax b
I
R x
dx
cx d
cx d




























 koʻrinishdagi integrallarni 
hisoblash. Bu integralda  R
oʻz argumentlarining ratsional funksiyasi, a, b, c, d – 
haqiqiy sonlar va 
1
2
,
, ...,
n
 


ratsional sonlar boʻlib, ularning umumiy maxraji 
m  va 
0
ad bc

  boʻlsin. Agar 
0
ad bc

  boʻlsa, u holda 
ax b
const
cx d



 boʻlib 
1
,
,...,
n
ax b
ax b
R x
cx d
cx d


























 funksiya x ga nisbatan ratsional funksiya boʻladi. 

 
136 
 Quyidagi 
m
ax b
t
cx d



 almashtirishni kiritamiz. U holda 
m
ax b
t
cx d



, 
m
m
t d b
x
a ct



, 
1
2
(
)
(
)
m
m
m ad bc t
dt
dx
a ct




. 
Natijada, berilgan integral t ga nisbatan ratsional funksiyani integrallashga 
keltiriladi. 
 3. 
1
2
3
2
2
2
(
)
,
,
dx
Ax B dx
dx
I
I
I
ax
bx c
ax
bx c
x ax
bx c













 
koʻrinishdagi integrallarni hisoblaymiz. 
1
I
 koʻrinishdagi integralni hisoblash uchun 
ildiz ostidagi funksiyadan toʻla kvadrat ajratiladi: 
2
2
2
2
2
2
.
2
4
2
b
c
b
b
ax
bx c a
x
a
x
k
a
a
a
a











 






























 
Soʻngra 
,
2
b
x
u dx du
a



 almashtirish bajariladi. Natijada integral jadvaldagi 
2
2
du
u
k


 koʻrinishdagi integralga keltiriladi. 
 
2
I  integral suratida ildiz ostidagi funksiyaning differensiali ajratib olinadi va 
bu integral ikkita integral yig‘indisi koʻrinishida funksiyalanadi: 
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
(2
)
(
)
(
)
2
2
2
(
)
(
)
2
2
2
,
2
A
Ab
ax b
B
Ax B dx
A d ax
bx c
a
a
I
dx
a
ax
bx c
ax
bx c
ax
bx c
AB
A
Ab
B
I
ax
bx c
d ax
bx c
B
I
a
a
a
A
Ab
ax
bx c
B
I
a
a

















































 









 
bu yerda 
1
I  yuqorida hisoblangan integral.  
 
3
I  integralni hisoblash 
2
1
1
,
x
dx
du
u
u

 
 almashtirish yordamida 
1
I  ga 
keltiriladi.