M a’ruza 4 murakkab funksiyaning hosilasi. Oshkormas va parametrik ko`rinishda berilgan funksiyalarning hosilasi

M A’RUZA 4  

4.4. MURAKKAB FUNKSIYANING HOSILASI. OSHKORMAS VA PARAMETRIK 

KO`RINISHDA BERILGAN FUNKSIYALARNING HOSILASI 

Reja. 

1. Murakkab funksiyaning hosilasi. 

2. Parametrik ko’rinishda berilgan funksiyaning hosilasi. 

3. Oshkormas funksiya hosilasi. 

4. Hosila jadvali (Umumiy hol). 

Tayanch iboralar.Murakkab funksiya, parametrik ko’rinishda berilgan funksiyalarning hosilasi, 

oshkormas funksiya, yuqori tartibli hosila. 

1.Murakkab funksiyaning hosilasi.

 

Agar  y  o’zgaruvchi  u  o’zgaruvchining  y=f(u)  funksiyasi  bo’lib,  u  esa  o’z  navbatida  x  ning 

funksiyasi u= φ (x) boisa, u holda y=f(.p(x)) funksiyani x ning murakkab funksiyasi deyiladi.

 

Teorema. Agar u== φ (x) funksiya o’zgaruvchi x nuqtada u

x

'= φ '(

x

) hosilaga,  y=f(u) funksiya esa 

o’zgaruvchi u bo’yicha y

u

'=f '(u) hosilaga ega bo’lsa, u holda y=f(φ (x)) murakkab funksiya ham   

shu x nuqtada 

y

x

'=f

u

'(u) · φ'(x) 

hosilaga ega bo’ladi. 

2. Parametrik ko’rinishda berilgan funksiyaning hosilasi.

 

Agar  tenglamamizi 











)

(

(t)

t

y

x





  parametrik  ko’rinishda  berilgan  bo’lib,  φ  (t),  ψ(t)  funksiyalar 

differensiallanuvchi  va φ '(t)≠0 bo’lsa y

)

(

'

)

(

'

'

t

t

t

x

x







 ya’ni 

)

(

'

)

(

'

'

t

x

t

y

y

t

t

x



 formula o’rinli bo’ladi. 

3. Oshkormas funksiya hosilasi. 

( ,

)

0

F x y =

  ko’rinishida  berilgan  oshkormas  funksiyaning  hosilasini  hisoblashda,  tenglikning 

chap  tomonini  x  argumentning  murakkab  funksiyasi  deb  qaraladi  va  tenglikning  ikkala 

tomonidan hosila olinadi. Bunda y x ning murakkab funksiyasi deb qaraymiz. 

Misol. Oshkormas ko’rinishda berilgan funksiyaning hosilasini hisoblang.   

2

2

2

2

1

x

y

a

b

+

=

 

Yechish. Tenglikning ikkala tomonidan x bo’yicha hosila olamiz: 

'

2

2

2

2

0 ,

x

y y

a

b

+

=

 bundan 

2

'

2

.

x

b x

y

a y

= -

 

4. 

Hosila jadvali (Umumiy hol).

 

u=u(x), v=v(x) funksiyalar differensiallanuvchi funksiyaiar bo’lsin. 

 

1.C'=0; C-o’zgarmas 

2. x'=1, x-argument 

3. (u

n

)'= nu

n-1

u’. 

(n



N ,u>0) 

4. 

2

'

'

1

u

u

u

















 

5. 

 

u

u

u

2

'



 

6. (a

u

)'= a

u

1na·u'; 

(a>0; a≠1) 

7. (e

u

)'=e

u

u' 

8. (log

a

u)'=

a

n

u

u

1

'



 

(u>0; a>0; a≠1) 

9. (1nu)'=

u

u '

 

10. (sinu)'=cosu·u' 

11. (cosu)'=-sinu·u' 

12. (tgu)'=

u

u

2

cos

'

 

13. (ctgu)'=

u

u

2

sin

'

 

14. (arcsinu)'=

2

1

'

u

u



 

15. 

(arccosu)'= 

-

2

1

'

u

u



 

16. (arctgu)’=

2

1

'

u

u



 

17. (arcctgu)'= -

2

1

'

u

u



. 

Mavzuni mustahkamlash uchun savollar: 

1.  Murakkab funksiyaning hosilasi qanday topiladi? 

2.  Oshkormas funksiya hosilasi qanday topiladi? 

3.  Differensialning ta’rifi, geometrik ma’nosi. 

4.  Ikkinchi tartibli hosilani ta’rifi va uning geomrtrik manosi