Logarifmik tengsizliklar va tengsizliklar sistemasini yechish usullari

II BOB. LOGARIFMIK TENGSIZLIKLAR VA TENGSIZLIKLAR SISTEMASINI YECHISH USULLARI
2.1. Logarifmik tengsizliklarni yechish usullari
Logarifmik tengsizlik lozim bo`lgan almashtirishlar bajarilgandan keyin
yoki

ko`rinishiga keladi.

Yechim:
bo`ladi.
6-misol. lg(x+2)<1 tengsizlikni yeching.
Yechish: Tengsizlikning mavjudlik sohasi x+2>0, yechimi esa x+2<10 bo`ladi. tengsizlik yechimini topish uchun
tengsizliklar sistemasiga ega bo`lamiz,
Uni yechib ni yoki ni hosil qilamiz.

Yechim: .

7-misol. tengsizlikni yeching.

Yechish: Mavjudlik sohasi uchun 2x-4>0, x+1>0, tengsizlikning bajarilishi uchun 2x-4
sistemaga ega bo`lamiz.
Bundan ni hosil qilamiz, demak yechim bo`ladi.

8-misol. tengsizlikni yeching.

Yechish: Tengsizlikning mavjudlik sohasi
yoki dan iborat.
Tengsizlikni teng kuchli tengsizlik bilan almashtirib, sistemaga ega bo`lamiz.
Sistemani yechib, ni topamiz.
Javob:
9-misol. tengsizlikni yeching.
Yechish: Tengsizlikning aniqlanish sohasi x<sup>2</sup>-5x-6>0 yoki (x+1)(x-6)>0 yoki bo`ladi.

Tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ni dan yoki x²-5x-6≤8 yoki (x+2)(x-7)≤0 dan topamiz: -2≤x≤7. Tengsizlikning mavjudlik sohasi bilan birlashtirib, yechim ni topamiz.

Logarifmik tenglama ma`lum almashtirishlardan keyin

yoki

ko`rinishga keltiriladi. x=b va x=a<sup>b</sup> yechimni topamiz.
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Berilgan tenglama x ning x<sup>2</sup>+5x+2=2<sup>3</sup> tenglik bajarila-digan qiymatlardagina qanoatlantiradi. Bundan x<sup>2</sup>+5x-6=0 kvadrat teng-lamaga ega bo`lib, x₁=1, x₂=-6 yechimni topamiz.
2-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Bu tenglama x ning 2x+3>0 va x+1>0 shartlarni qanoat-lantiruvchi qiymatlari uchun aniqlangan. Bu tengsizliklarni yechib teng-lamaning mavjudlik sohasi ni aniqlaymiz. Berilgan tenglama 2x+3=x+1 tenglamaga teng kuchlidir. Bundan x=-2 ni topamiz. Ammo bu ildiz tenglamaning mavjudlik sohasiga kirmaydi. Binobarin, berilgan tenglamaning ildizlari mavjud emas.
3-misol. tenglamani yeching.
Yechish: bu tenglama x ning x>0, x≠1( x- logarifmning asosi bo`l-gani uchun) shartlar va x<sup>2</sup>-3x+3=x yoki x<sup>2</sup>-4x+3=0 tenglik bajariladigan qiymatlardagina qanoatlantiriladi. Hosil bo`lgan kvadrat tenglamaning ildizlari 1 va 3 bo`lib, x=1 berilgan tenglamaning yechimi bo`la olmaydi. Demak, berilgan tenglamaning ildizi faqat x=3.

4-misol. tenglamani yeching.

Yechish: Bu tenglamaning mavjudlik sohasi bo`ladi. x asosli logarifmdan 5 asosli logarifmga o`tib, ni, bun-dan ni hosil qilamiz. Bu kvadrat tenglamani noma`lum ga nisbatan yechib, va ni topamiz. Bu tengla-malardan x₁=5³=125 va =5^-2= larni topamiz. Bu ildizlarning ikka-lasi ham tenglamani qanoatlantiradi.
5-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Ketma-ket teng kuchli tenglamalar bilan almashtirib, topamiz:

Javob: x=-3