Limiti va uzluksizligi

Ikki o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalari. Ikki o‘zgaruvchili uzluksiz z=f(x,y) funksiyaning xossalarini ifodalash uchun dastlab to‘g‘ri chiziqdagi (a,b) oraliq (ochiq soha) va [a,b] kesma (yopiq soha) tushunchalarini tekislik uchun umumlashtiramiz.

12-TA’RIF: Tekislikdagi D sohaning M₀(x₀,y₀) nuqtasi o‘zining biror r atrofi bilan (6-ta’rifga qarang) shu sohada joylashgan bo‘lsa, u ichki nuqta deb ataladi .

Masalan, doira, kvadrat, uchburchak kabi figuralarning ichidagi nuqtalar ularning ichki nuqtalari bo‘ladi.

13-TA’RIF: Tekislikdagi M₀(x₀,y₀) nuqtaning ixtiyoriy r atrofida ham D sohaga tegishli, ham D sohaga tegishli bo‘lmagan nuqtalar mavjud bo‘lsa, u D soha uchun chegaraviy nuqta deb ataladi .

Masalan, doira uchun uning aylanasidagi har bir nuqta chegaraviy bo‘ladi.

Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, D sohaning chegaraviy nuqtasi bu sohaga tegishli bo‘lishi ham, tegishli bo‘lmasligi ham mumkin.

14-TA’RIF: Tekislikdagi D sohaning barcha chegaraviy nuqtalar to‘plami uning chegarasi deb ataladi.

Masalan, doira uchun uning aylanasi chegara bo‘ladi.

15-TA’RIF: Agar D sohaga tegishli barcha nuqtalar ichki bo‘lsa, D ochiq soha deb ataladi.

Masalan, doira, kvadrat, uchburchak kabi figuralarning ichidagi barcha nuqtalardan iborat sohalar ochiq bo‘ladi.

Agar D ochiq soha bo‘lsa, unga chegaraviy nuqtalari kirmaydi.

16-TA’RIF: Agar D sohaning barcha chegaraviy nuqtalari bu sohaga tegishli bo‘lsa u yopiq soha deyiladi.

Masalan, doira o‘zining aylanasi bilan birgalikda yopiq sohani tashkil etadi.

17-TA’RIF: Agar D soha to‘liq biror chekli r radiusli doira ichida yotsa, u chegaralangan soha , aks holda esa chegaralanmagan soha deb ataladi.

Masalan, ellips ichidagi nuqtalardan iborat soha chegaralangan, parabola bilan chegaralangan soha esa chegaralanmagan bo‘ladi .

Yopiq va chegaralangan D sohada uzluksiz bo‘lgan ikki o‘zgaruvchili z=f(x,y) funksiyaning bir nechta muhim xossalarini ko‘rsatib o‘tamiz. Bu xossalar [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgan bir o‘zgaruvchili funksiyalarning xossalarini (VII bob, §4) ikki o‘zgaruvchili funksiyalar uchun umumlashtiradi. Bu xossalar VII bob, §4 dagi tegishli teoremalarga o‘xshash isbotlanadi va shu sababli ularni takrorlab turmaymiz.

4-TEOREMA (Veyershtrass teoremasi): Agar z=f(x,y) funksiya yopiq va chegaralangan D sohada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsa, bu D sohada kamida bitta shunday M₀(x₀, y₀) [M₁(x₁, y₁)] nuqta topiladiki, D sohaning boshqa hamma M(x,y) nuqtalari uchun

munosabat bajariladi.

Bu holda f (x, y) funksiyaning qiymatlari mos ravishda uning D sohadagi eng katta va eng kichik qiymati dеb aytiladi hamda maxf va minf kabi belgilanadi.

Masalan, f(x,y)=2(x²+ y²)+3 funksiya D={(x,y): x²+ y²4} yopiq doirada aniqlangan va uzluksiz. Bu funksiya D sohada o‘zining eng katta maxf qiymatini sohaning x²+y²=4 chegarasidagi ixtiyoriy M₀(x₀, y₀) nuqtada qabul etadi va bunda maxf =24+3=11 bo‘ladi. Bu funksiya D sohada o‘zining eng kichik qiymatiga x²+y²=0 bo‘lganda, ya’ni O(0,0) nuqtada erishadi va minf =20+3=3 bo‘ladi.