Limiti va uzluksizligi

Masala: Ishlab chiqarish funksiyasi pul birligida ifodalanib, ko‘rinishga ega. Bunda x–I xomashyo , y–II xomashyo birliklari miqdorini ifodalaydi. I xomashyo bir birligining qiymati – 5, II xomashyoniki esa–10 pul birligiga teng. Bu xomashyolardan foydalanish natijasida erishiladigan foydaning maksimal qiymatini toping.

Yechish: Bizga ma’lumki, ishlab chiqarish funksiyasi f(x,y) xomashyolardan foydalanish natijasida olingan daromadni ifodalaydi. Bunda, masala shartiga asosan, xomashyolar uchun qilingan xarajatlar g(x,y)=5x+10y ikki o‘zgaruvchili funksiya orqali topiladi. Shu sababli xomashyolardan foydalanish natijasida olingan foyda ushbu

F(x,y)= f(x,y)– g(x,y)=30x^1/2y^1/3–5x–10y

ikki o‘zgaruvchili funksiya orqali aniqlanadi. Bu funksiyani yuqorida ko‘rsatilgan algoritm bo‘yicha ekstremumga tekshiramiz. Bu yerda xususiy hosilalar

.

Bu xususiy hosilalarni nolga tenglashtirib, ushbu tenglamalar sistemasiga kelamiz va uni yechamiz:

.

Demak, M₀(81,27) kritik nuqta bo‘ladi. Bu kritik nuqtani II tartibli hosilalar yordamida tekshiramiz:

.

Bu kritik nuqtada ∆>0, A<0 bo‘lgani uchun unda foydani ifodalovchi F(x,y) funksiya maksimumga ega bo‘ladi maksimal foyda qiymati pul birligida

bo‘ladi.

2.