Limiti va uzluksizligi



Download 0,87 Mb.
bet16/23
Sana31.12.2021
Hajmi0,87 Mb.
#259529
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   23
Bog'liq
IX BOB-2

1-TEOREMA(Ferma teoremasi): Agar z=f(x,y) funksiya M0(x0,y0) nuqtada lokal ekstrеmumga erishsa va bu nuqtada uning ikkala xususiy hosilalari mavjud bo‘lsa, unda ular nolga tеng bo‘ladi, ya’ni

(2)

tengliklar o‘rinli bo‘ladi.



Isbot: z=f(x,y) funksiyada y=y0 deb olamiz va bunda hosil bo‘ladigan bir o‘zgaruvchili h(x)= f(x,y0) funksiyani qaraymiz. Teorema shartiga ko‘ra bu funksiya x=x0 nuqtada lokal ekstremumga ega va uning hosilasi mavjud. Unda, bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun oldin isbotlangan Ferma teoremasiga asosan (VII bob,§5), ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunday tarzda tenglik o‘rinli ekanligi ko‘rsatiladi va teoremaning isboti yakunlanadi.

Bu teorema ekstremumning zaruriy shartini ifodalaydi va undan ushbu natija kelib chiqadi.



NATIJA: Agar z=f(x,y) funksiya M0(x0,y0) nuqtada lokal ekstrеmumga erishsa va differensiallanuvchi bo‘lsa, unda bu nuqtada uning differensiali df(x0,y0)=0 va gradienti gradf(x0,y0)=0 bo‘ladi.

Bu tasdiq bevosita (2) tengliklardan va differensial, gradient ta’riflaridan kelib chiqadi.

Masalan, yuqorida ko‘rilgan f(x,y)=4–x2y2 funksiya uchun haqiqatan ham u lokal maksimumga erishadigan M0(0,0) nuqtada

tengliklar bajariladi.

(2) tengliklar lokal ekstremumning faqat zaruriy shartini ifodalab, lokal ekstremum bo‘lishi uchun yetarli emas.

Masalan, f(x,y)=x2 y2 differensiallanuvchi funksiya grafigi 88-rasmda

ko‘rsatilgan sirtdan iborat.

88-rasm


Bu funksiya uchun O(0,0) nuqtada (2) tengliklar bajariladi, ammo bu nuqtada funksiya lokal ekstremumga ega emas. Haqiqatan ham bu holda to‘la orttirma

ko‘rinishda bo‘lib, ∆x>∆y bo‘lganda musbat, ∆x<∆y holda esa manfiy qiymat qabul etadi. Demak, O(0,0) nuqtaning ixtiyoriy atrofida ∆f(0, 0) to‘la orttirma o‘z ishorasini o‘zgartiradi va shu sababli bu nuqtada lokal ekstremum mavjud emas.

Bu funksiyaning grafigi bo‘lmish sirt quyidagi chizmada ko‘rsatilgan va unda

O(0,0) nuqta egar nuqta deb ataladi. Sirtlar uchun egar nuqta egri chiziqlar uchun burilish nuqtasiga o‘xshash xususiyatga ega bo‘ladi.



4-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari mavjud bo‘lsa, unda (2) tengliklarni qanoatlantiruvchi nuqtalar bu funksiyaning kritik yoki statsionar nuqtalari deb ataladi.

Ferma teoremasidan funksiya lokal ekstremumlariga kritik nuqtalarida erishishi mumkinligi kelib chiqadi. Shu sababli funksiyani ekstremumga tekshirish uchun birinchi navbatda uning kritik nuqtalarini topish kerak. Agar z=f(x,y) funksiya uchun M0(x0,y0) kritik nuqta bo‘lsa, unda funksiya bu nuqtada yoki lokal maksimumga, yoki lokal minimumga ega yoki umuman lokal ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin. Shu sababli M0(x0,y0) kritik nuqta bu xususiyatlardan qaysi biriga ega ekanligini aniqlash masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala ekstremumning yetarli shartini topish orqali hal etiladi. Buning uchun z=f(x,y) funksiya M0(x0,y0) kritik nuqtaning biror atrofida aniqlangan, uzluksiz hamda uzluksiz I va II tartibli hosilalarga ega deb hisoblaymiz. Quyidagi belgilashlar kiritamiz:



. (3)

2-TEOREMA(Ekstrеmumning yetarli shartlari): Agar z=f(x,y) funksiya uchun M0(x0,y0) kritik nuqta bo‘lsa, unda (3) belgilashlarda quyidagi tasdiqlar o‘rinli :

1. ∆>0, A>0 holda funksiya M0(x0,y0) kritik nuqtada lokal minimumga ega;

2. ∆>0, A<0 holda funksiya M0(x0,y0) kritik nuqtada lokal maksimumga ega;

3. ∆<0 holda funksiya M0(x0,y0) kritik nuqtada lokal ekstremumga ega emas.

Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.

Izoh: Agar ∆=0 bo‘lsa funksiyaning M0(x0,y0) kritik nuqtadagi xususiyatini bu teorema orqali aniqlab bo‘lmaydi. Bu holda javob funksiyaning ∆f(x0,y0) to‘la orttirmasining ishorasini tekshirish orqali topiladi.

Shunday qilib ikki o‘zgaruvchili z=f(x,y) funksiyani ekstremumga tekshirish quyidagi algoritm asosida amalga oshiriladi:



  • funksiyaning xususiy hosilalari hisoblanadi;

  • xususiy hosilalar nolga tenglashtirilib,

tenglamalar sistemasi hosil etiladi;



  • hosil etilgan tenglamalar sistemasi yechilib, funksiyaning kritik nuqtalari topiladi. Agar kritik nuqtalar mavjud bo‘lmasa, unda funksiya ekstremumga ega bo‘lmaydi;

  • funksiyaning II tartibli hosilalari topiladi;

  • kritik nuqtada (3) formulalar bo‘yicha A, B, C va ∆ qiymatlari hisoblanadi;

  • A, B, C va ∆ qiymatlari bo‘yicha kritik nuqtada funksiyaning xususiyati 2-teorema yordamida aniqlanadi.

Misol sifatida, f(x,y) = x2+ xy+y2 –3x– 6y funksiyani ekstrеmumga tekshiramiz. Bu holda

bo‘lib, ulardan tuzilgan



tenglamalar sistemasidan M0(0,3) kritik nuqtani topamiz. Bu yerda



bo‘lgani uchun A=2 , B=1 , C=2 va ∆=AC–B2=3 ekanligini ko‘ramiz.

Bunda ∆>0 , A>0 va shu sababli,ekstremumning yetarli shartiga asosan, bu funksiya M0(0,3) kritik nuqta lokal minimumga ega va fmin=f(0,3)=32–18=–9 bo‘ladi.

Ikki o‘zgaruvchili funksiya lokal ekstremumiga doir ushbu iqtisodiy mazmunli masalani qaraymiz.




Download 0,87 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   12   13   14   15   16   17   18   19   ...   23




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish