Li algebrasining ta’rifi

Li algebrasining ta’rifi
ko’paytma bilan maydon ustida aniqlangan algebra quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa, ga maydon ustida aniqlangan Li algebrasi deyiladi.

1. 
   Barcha lar uchun ;
   
2. 
   Barcha lar uchun . Bu Yakobi ayniyati deyiladi.
   
3. 
   lar uchun - antikommutativlik xossasi o’rinli bo’lsa.
   

Bu yerda 3 aksiomadan ni hosil qilamiz. Shuning uchun, agar maydonning xarakteristikasi 2 dan farqli bo’lsa ( ), u holda (3) aksiomadan 1 aksioma kelib chiqadi.
Agar lar uchun o’rinli bo’lsa, Li algebrasining ning vektor qism fazosi qism algebra deb ataladi.
Li algebrasiga misollar.
- maydon ustidagi assosiativ algebra bo’lsin. vektor fazo ustida yangi amal kiritamiz.

- algebraning va elementlari ko’paytmasidan iborat. U holda vektor fazo amalga nisbatdan Li algebrasini tashkil qiladi. Uni orqali belgilaymiz. Haqiqatdan, ham

1. 
   
   
2. 
   
   

Bu tengliklarni hadma-had qo’shsak tenglikni hosil qilamiz.

3. 
   
   

- maydon ustidagi vektor fazo bo’lsin. orqali fazodagi chiziqli almashtirishlar to’plamini belgilaymiz. chiziqli almashtirishlarni ko’paytirishga nisbatan assotsiativ algebra tashkil qiladi. U holda -Li algebrasidan iborat. Uni to’liq chiziqli Li algebrasi deb ataymiz. Agar biz maydonda aniqlangan matrisalar algebrasi ni qarasak, u holda Li algebrasini orqali belgilaymiz. dagi ixtiyoriy qism algebra chiziqli algebra deyiladi.
Endi Li algebrasiga klassik misollar bo’lgan larni qaraymiz.
da izi nolga teng bo’lgan matrisalarning qism fazosi ni qaraymiz , ya’ni
}
- matrisaning diagonalidagi elementlarining yig’indisidan iborat. Shuningdek bo’ladi. Haqiqatdan ham,

bo’lsa, u holda


Eslatib o’tamizki, lar uchun deb olsak, bu amalga nisbatan Li algebrasi bo’ladi, lar uchun , shuningdek va tengliklarni hisobga olsak, ekanligi kelib chiqadi.
Demak, esa ning qism algebrasi bo’ladi. algebra maxsus Li algebrasi deb ataladi.
bo’lganda bo’ladi, bu yerda satr, ustunda qolgan elementlari bo’lgan tartibli kvadrat matrisa. Shuningdek, . satr va ustunda , satr va ustunda joylashgan, qolgan elementlari bo’lgan matrisa. Bunday matrisalar soni mos ravishda va ga teng. Bundan tashqari, lar chiziqli bog’lanmagan, u holda

ya’ni , chunki to’plam sifatida ning qism to’plamidan iborat. Demak, ekan.
: matrisalar algebrasida matritsani qaraymiz, bu yerda - o’lchamli birlik matrisa.
Ushbu to’plamni qaraymi. ning transponirlangan matrisasidan iborat. lar uchun ekanligini ko’rsatish kerak. Ya’ni tenglikning to’g’riligini ko’rsatish kerak.
.
Biz bu yerda matritsalarni ko’paytirish assosiativligidan va tenglikdan foydalandik. algebraga simplektik Li algebrasi deb ataladi.
Ma’lumk,i ning har bir elementini ko’rinishda yozish mumkin, bu yerda
U holda


tenglikdan tengliklarni hosil qilamiz. tenglikdan tenglikni hosil qilamiz.
Shuning uchun, ning qism algebrasidan iborat.
matrisani dan olingan va matritsalar orqali chiziqli ifodalash mumkin. Bu yerda matritsa ning -satr, -ustunida joylashgan matritsaning -satr, -ustunida - joylashgan tartibli matrisa qolgan elementlari ga teng.
esa ning -satr, -ustunida , ning -satr, -ustunida joylashgan matrisa qolgan elementlari . Bu matritsalar uchun tengliklar o’rinli, Demak, ular ning elementlari. Ularning soni ta.
Xuddi shunday, matritsani dan olingan va matritsalar yordamida chiziqli ifodalash mumkin. Ularning soni ta. Shu tarzda ni ham va lar orqali chiziqli ifodalash mumkin, ularni soni ham ga teng. Demak ,
.
matritsalar algebrasida matritsani belgilaymiz.

to’plamni qaraylik. U holda ning qism algebrasi va ortogonal algebrasi deyiladi. ning har bir elementini ko’rinishda yozish mumkin, bu yerda , -lar uzunligi ga teng bo’lgan satrlar, -lar uzunligi ga teng bo’lgan ustunlar va lar ning elementlari, ya’ni o’lchovli kvadrat matritsalar.
Endi tenglikdan a=0, =- , =- , =-e, =-p, =-q tengliklarni hosil qilamiz. Haqiqatdan ham

= = ,
Endi - ni qaraylik,

a=-a, =- , =- , =- , =- , p=- , l=- , q=- , m=- .

Bulardan a=0, =- , =- , l=- , p=- , va q=- lar kelib chiqadi (A=- dan = =- =-B kelib chiqadi).