Лекция томск 2019 Теория автоматического управления и защит. Часть Устойчивость систем асу

Алгебраический критерий Гурвица 
Пусть исходная система - пропорциональное звено второго порядка с ПФ. 
,
1
2
)
(
0
1
2
2
0
2
2
a
p
a
p
a
b
dTp
p
T
K
p
W
з






где 
.
1
,
2
,
,
0
1
2
2
0




a
dT
a
T
a
k
b
Характеристическое уравнение имеет вид: 
.
0
0
1
2
2



a
p
a
p
a
Система устойчива, если:
0
2
1
2
0
a
a
a


0
0
0
1
0
1
0
2
1
1
2












a
a
a
a
a
Т.е. , то и должно быть
0
1

a
.
0
0

a
Окончательно можно записать:
.
0
,
0
,
0
0
1
2



a
a
a

---

Алгебраический критерий Гурвица 
Таким образом, для систем первого и второго порядков положительность 
коэффициентов ХУ – необходимое и достаточное условие устойчивости. 
3) Дана система 3-го порядка с ПФ в ЗС вида: 
.
)
(
0
1
2
2
3
3
0
a
p
a
p
a
p
a
b
p
W
з




Характеристическое уравнение системы в замкнутом состоянии имеет вид: 
.
0
0
1
2
2
3
3




a
p
a
p
a
p
a
Главный определитель Гурвица: 
0
2
1
3
0
2
3
0
0
0
a
a
a
a
a
a


Система устойчива, если:
.
0
,
,
0
,
0
,
0
,
0
0
2
0
3
3
0
2
1
2
2
1
3













a
ьно
следовател
a
a
a
a
a
a
a

---

Алгебраический критерий Гурвица 
0
0

a
1
0
a

Поскольку
, 
то
. 
Окончательно можно записать 
.
0
,
0
,
0
,
0
,
0
3
0
2
1
2
3
2
1
0








a
a
a
a
a
a
a
a
Таким образом, для устойчивости системы третьего порядка в дополнение к 
необходимым условиям устойчивости (положительность коэффициентов 
характеристического уравнения) должно быть и выполнение указанных соотношений. 
0
3
0
2
1
2




a
a
a
a

---

Критерий Льенара-Шипара 
При выполнении необходимого условия устойчивости для устойчивых систем 
необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица с нечетными (четными) 
номерами были положительны. 
Формулировка