Лекция 12 Линейные операторы

Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов, - линейный оператор проектирования на ось . Найти все его собственные числа и собственные векторы.
12.3. Приведение матрицы линейного оператора
к диагональному виду путем перехода к новому базису
Линейный оператор задается в базисе (I) диагональной матрицей тогда и только тогда, когда все векторы базиса (I) - собственные.
Действительно, пусть (I) - собственные векторы, отвечающие собственным значениям соответственно, т.е.
,
,
………………. (12.5)
.
Из равенств (12.5) следует справедливость разложений по базису (I):
,
,
…………………………………….
,
и по определению матрицы оператора (определение 3) имеем
, (12.6)
т.е. матрица оператора в (I) - диагональная (по диагонали стоят собственные значения).
Обратно. Пусть - матрица оператора в базисе (I) имеет диагональный вид (12.6), следовательно, ,…, и, таким образом, векторы - собственные с собственными значениями .
Вопрос о том, можно ли линейный оператор задать в некотором базисе диагональной матрицей, равносилен вопросу о том, существует ли для данного оператора базис, состоящий из собственных векторов.
Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в , - собственные векторы оператора , отвечающие собственным значениям . Если , то - линейно независимы.
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по числу векторов .
При имеем один вектор (по определению собственный вектор отличен от нулевого), вектор составляет линейно независимую систему.
Пусть утверждение теоремы справедливо для : всякая система собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, является линейно независимой.
Пусть имеется система собственных векторов , относящихся к различным собственным значениям ( ).
Предположим, система линейно зависима, т.е. найдутся числа , не все равные нулю, такие, что выполняется равенство
. (12.7)
Не ограничивая общности рассуждений, можем считать, что (иначе перенумеруем векторы).
Применим к обеим частям равенства (12.7) оператор :

.
Из последнего равенства получим
. (12.8)
Обе части равенства (12.7), умноженные на , вычтем почленно из обеих частей (12.8), получим
. (12.9)
Равенство (12.9) означает, что векторы линейно зависимы (их линейная комбинация с коэффициентами, не равными одновременно нулю, например, коэффициент при отличен от нуля, равна ), но это противоречит предположению индукции: векторы собственные, относящиеся к различным собственным значениям. Следовательно, - линейно независимы, и утверждение теоремы справедливо при любом . Теорема доказана.
Определение 9. Линейный оператор называется линейным оператором с простым спектром, если все его характеристические корни действительны и различны.