Лекция 12 Линейные операторы

Замечание 1. Столбцы матрицы являются координатами в разложении векторов по базису .
П ример 2. Найти матрицу линейного оператора зеркального отражения относительно оси в базисе .
По определению оператора (рис. 12.3).
Используя разложение векторов и по базису , находим: , . Полученные строки координат располагаем по столбцам:
.
Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов, - декартов базис, - декартова система координат, - оператор проектирования на ось . Доказать, что - линейный оператор, и найти его матрицу в базисе .
Замечание 2. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в , (I) - базис в . Матрица оператора в базисе (I) определена однозначно.
Для того, чтобы в этом убедиться, разложим векторы по базису (I). Столбцы матрицы представляют собой координаты этих векторов, которые согласно теореме 3 лекции 10 определяются единственным образом, следовательно, матрица оператора в (I) определена однозначно.
Теорема 1. Пусть - линейное пространство, (I) - базис в , - линейный оператор в , - матрица линейного оператора в базисе (I), , , , . Тогда
.
Доказательство. Имеем


.
По условию .
Используя теорему о единственности разложения вектора по базису (теорема 3 из лекции 10), получим
. (12.2)
Заметим, что в последнем равенстве числа - элементы k-й строки матрицы .
Привлекая правило умножения матриц, равенство (12.2) запишем в виде
.
Теорема доказана.