Лекция 11. Расчет теплообменных аппаратов

dQ = k (T₁ - T₂) dF . (11.1)

Здесь Т₁ и Т₂ - среднемассовые температуры теплоносителей.

Определим температурный напор как

Т = Т₁ - Т₂ . (11.2)

Температурный напор является величиной переменной по ходу движения теплоносителей.
Т Т


_Т11


_Т21

L L
прямоток противоток

Рис.11.1

При дифференциальном изменении среднемассовой температуры теплоносителей переносится количество тепла


dQ = - G₁ c_P1 dT₁ = G₂ c_P2 dT₂ , (11.3)

откуда

dT₁ = -dQ/(G₁ c_P1) и dT₂ = -dQ/(G₂ c_P2) . (11.4)

Сложим левые и правые части выражений (11.4), получим

^ 1 1 ^

dT₁  dT₂
 d( T₁  T₂ )
 dQ_{ G c}  _{G c } . (11.5)

^ 1 P1 2 P2 ^

Подставим в это уравнение выражение (11.1) для dQ

d( T  T )  k( T  T )^{ 1} 

^{1 } dF  k( T  T ) mdF (11.6)

1 2 1 2
^ G c G c ^{ 1 2}

Здесь
^ 1 P1 2 P2 ^

^ 1 1 ^

m  _{ G c}  _{G c } . (11.7)
^ 1 P1 2 P2 ^
Таким образом, выражение (11.6) есть уравнение для температурного напора, которое перепишем в виде

d( T )

_T  kmdF . (11.8)

Решение уравнения (11.8) имеет вид

T  T ¹ exp( mkF_x ) . (11.9)

Здесь верхний индекс, также как и на рис.11.1 обозначает параметры теплоносителей 1 - на входе в аппарат, 2 - на выходе из аппарата, а нижние индексы соответственно обозначают номер теплоносителя.

С использованием выражения (11.9) можно определить средний температурный напор согласно правилу

_ 1 1 ₁

T ¹

T  _{F } TdF 
F
.
_{F } T
F
exp( mkF_x ) dF 
_exp( mkF)  1_

mkF

(11.10)

В выражении (11.9) площадь F яввляется текущим параметром. Отсюда можно определить температурный напор на выходе теплоносителей из аппарата. Он будет равен
T ²  T ¹ exp( mkF) . (11.11)
Определим из (11.9) комплекс (mkF)

T ¹

mkF  ln
T ²
. (11.12)

Подставляя (11.12) в (11.10) окончательно будем иметь

_ T ¹  T ²

T 
T ¹
ln _{T 2}
. (11.13)

Формула (11.13) представляет собой выражение для так называемого среднелогарифмического температрного напора и находит широкое применение при расчете теплообменников. Ее обобщение на случай противотока достигается тем, что в качестве температрного напора, обозначенного верхним индексом 1, принимается больший температурный напор на каком - либо конце теплообменника.
С учетом выражения (11.13) основное уравнение теплопередачи примет вид


Q  k T F . (11.14)

Таким образом, порядок проведения конструкторского расчета следующий:

задаются значения параметров:
тепловая нагрузка аппарата - Q ; расходы теплоносителей - G₁ и G₂ ;
температуры теплоносителей на входе в аппарат - Т₁¹ и Т₂¹ ;
для выбранной геометрии труб рассчитывается коэффициент теплопередачи - k ;
из уравнения теплового баланса определяются температуры теплоносителей на выходе из теплообменника - температуры теплоносителей на входе в аппарат - Т₁¹ и Т₂¹ ;
Т₁² и Т₂² ;
по формуле (11.13) рассчитывается среднелогарифмический температурный напор;
из уравнения (11.14) рассчитывается поверхность теплообмена F.

Кроме конструкторского расчета проводится и так называемый “поверочный расчет” теплообменника. Порядок его проведения следующий:

задаются расходы теплоносителей - G₁ и G₂ ;
для выбранной геометрии труб рассчитывается коэффициент теплопередачи - k ;
температуры теплоносителей на входе в аппарат - Т₁¹ и Т₂¹ ; задается площадь теплообмена F.
Определяемыми параметрами являются: тепловая нагрузка аппарата Q
и температуры теплоносителей на выходе из аппарата - Т₁² и Т₂² .
Рассмотрим пример конструкторского расчета при прямотоке.
Для этого получим соотношение, позволяющее определить температуру одного изтеплоносителей на выходе по входным значениям температур. Перепишем формулу (11.1)

T ²
T ¹
T ²  T ²
 ^{1 2}  exp( mkF) .
T ¹  T ¹

1 2

Вычтем левую и првую части этого соотношения из единицы

T ^{2 T 2  T 2}

1   1  ^{1 2}  1  exp( mkF) .
T ¹ T ¹  T ¹
1 2

Представим полученное выражение в виде

( Т ¹  T ¹ )  ( T ²  T ² )  ( T ¹  T ¹ )( 1  exp( mkF)) . (11.15)
1 2 1 2 1 2

Запишем уравнение теплового баланса

Q  c_P1G₁( T ¹  T ² )  c G ( T ²  T ¹ ) ,
1 1 P2 2 2 2
откуда

2 2

1

1
T ²  T ¹  ^cP1G1 ( T ¹  T ² ) .
^cP2^G2
Прибавим к правой и левой части этого выражения разность температур первого теплоносителя между входом и выходом

( T ¹  T ² )  ( T ²  T ¹ )
 ( 1 
^cP1G1 )( T ¹  T ² ) . (11.16)

1 1 2 2
^cP2^G2

1 1
Нетрудно видеть, что левые части выражений (11.15) и (11.16) равны, значит равны и их правые части, что дает
T ¹  T ²  ( T ¹  T ¹ ) ^{1  exp( mkF)} . (11.17)

1 1 1
^{2 c}P1^G1

1 
^c p2^G2

Из формулы (11.17) определяется температура первого теплоносителя на выходе из теплообменника, после чего рассчитывается тепловая нагрузка аппарата Q и температура второго теплоносителя на выходе.
Аналогичным образом может быть получено выражение для противотока, которое запишем без вывода

T ²  T ¹
 ( T ¹  T ¹ )
1  exp( mkF)
^cP1^G1

. (11.18)

2 2 1
^{2 c}P1^G1

1 
^c p2^G2

exp( mkF)

^cP2^G2

С использованием выражений (11.17) и (11.18) проводится сравнение эффективности теплообменников при прямотоке и противотоке. В общем оказывается, что при противотоке обеспечивается более меньшая поверхность теплообмена, то есть противоточные теплообменники более эффективны.

Эффективность теплообменника

Определим понятие расходной теплоемкости С = c_P G .

Термодинамическая эффективность теплообменника есть отношение количества теплоты, передаваемой в данном теплообменнике, к количеству теплоты, передаваемой в теплообменнике с бесконечно большой поверхностью теплообмена с теми же параметрами на входе.
По определению


C₁( T ¹  T ² )


E  ^{1 1} ,
C_min( T ¹  T ¹ )
1 2

если минимальное значение С₁ . Соответственно, если С₂ << C₁, то

2

E 
C₂( T ²
 T ¹ )

2
.

C_min( T ¹  T ¹ )
1 2

Если известна величина Е , то передаваемое количество тепла можно вычислить, зная лишь температуры теплоносителей на входе

Q  EC _min( T ¹  T ¹ ) . (11.19)
1 2

Для расчета термодинамической эффективности теплообменников получены зависимости


_{E } 1  exp( mkF)
^Cmin^m

или

1  exp^^

• 
  ^С min ^
  

kF ^

_{ }1

E  ^{ }

^С max ^


C
^min  _.

_{1 } ^C min
^C max

Как видим, эффективность теплообменника есть функция двух безразмерных параметров


_{E  f} ^{ C} min

C


; _ ,

^ max ^

где   ^kF
C min

- безразмерный коэффициент теплопередачи, который в

зарубежной литературе называют также “числом единиц переноса” (ЧЕП). Анализ расчетов показывает, что чем больше ЧЕП, тем ближе теплообменник к термодинамическому пределу.