Лекция 10 Доцент Мартынова Т. А. § Многочлены над полем действительных чисел Основными задачами

2. Отделение действительных корней

• Наиболее безупречным в теоретическом отношении является метод Штурма, имеющий чисто алгебраический характер. Изложим суть этого метода (без доказательства основной теоремы Штурма).
• Рассмотрим некоторую систему чисел, например, 2, –7, –11, 13, –14. Здесь знаки чередуются следующим образом: +, –, –, +, – . Число перемен знаков в этой системе равно 3.
• Если в системе встречается нуль, то он не принимается во внимание (не имеет знака). Например, в системе 3, –2, 0, 0, –3, 0, 5 число перемен знаков равно 2.

2. Отделение действительных корней

• Применим к многочлену f(x) и его производной f’(x) алгоритм Евклида, но при этом остатки будем брать с противоположными знаками:

2. Отделение действительных корней

• Система многочленов
• называется системой функций Штурма для многочлена f(x).
• В дальнейшем будем рассматривать только многочлены, не имеющие кратных корней. Известно, что такие многочлены взаимно просты со своей производной и поэтому fm(x)=c (const).
• Обозначим через w(a) число перемен знаков в системе чисел:

(6)

2. Отделение действительных корней

• Покажем на примере, как, используя теорему Штурма, можно определить корни многочлена.
• Замечание. Многочлены ряда Штурма можно находить с точностью до положительных множителей, т.е., при вычислениях можно умножать и делить многочлены на числа, но только на положительные, так как знак многочленов играет в этом методе существенную роль.

Теорема Штурма.
Если a(a) w(b) и число
действительных корней многочлена f(x)
в промежутке [a,b] равно w(a) – w(b).