Лекция №1. Проецирование простых геометрических объектов 4

Метрическими называются задачи по определению натуральной величины геометрических объектов (отрезка прямой или плоскости), либо кратчайшего расстояния между геометрическими объектами. Наиболее универсальным для решения таких задач принято считать способ замены плоскостей проекций, который заключается в следующем: оставляют неизменным положение в пространстве геометрического объекта, а заменяют одну или последовательно обе плоскости проекций так, чтобы интересующие нас прямые или плоскости оказались параллельными одной из новых плоскостей проекций.
Тогда одна из основных плоскостей проекций П₁ или П₂ заменяется новой плоскостью проекций П₄, подходящим образом расположенной относительно изображаемого геометрического объекта, но перпендикулярной незаменяемой плоскости проекций.
В результате замены одной из основных плоскостей на плоскость проекций П₄ получаем вместо старой системы плоскостей проекций П₁/П₂ новую систему П₁/П₄ (рис. 2.15), если заменялась плоскость П₂, и систему П₂/П₄, если заменялась плоскость П₁.

Рис. 2.13. Интерпретация способа замены плоскостей проекций

Например, на рис. 2.15, а плоскость П₄ может выступать в роли фронтальной плоскости проекций П₂. На рисунке 4.5, б, фигурными скобками отмечены расстояния от точки А до горизонтальной плоскости проекций П₁. Естественно, как видно на рис. 2.15, а, эти расстояния равны А₂А₁₂=А₄А₁₄, так как высота точки А над плоскостью П₁ проецируется как на П₂, так и на П₄ в виде одинаковых отрезков. Расстояние же до П₂ и П₄ от точки А могут быть различными, поэтому А₁А₁₂А₁А₁₄.

Способ замены плоскостей проекций рационально применять при решении следующих задач:

• 
  определение натуральной величины отрезка прямой линии;
  
• 
  определение натуральной величины плоской фигуры;
  
• 
  определение натуральной величины двугранного угла;
  
• 
  определение кратчайшего расстояния от точки до прямой линии или до плоскости;
  
• 
  определение кратчайшего расстояния между двумя параллельными или двумя скрещивающимися прямыми;
  

Решение задач данным способом рассмотрим на нескольких примерах.


Определение длины отрезка прямой общего положения

Для определения натуральной величины (длины) отрезка АВ прямой линии необходимо сделать этот отрезок прямой линии общего положения в новой системе плоскостей проекций линией уровня. Чтобы отрезок АВ стал линией уровня относительно новой плоскости проекций, заменим плоскость П₂ на плоскость П₄, параллельную АВ, и перейдем от системы П₁/П₂ к системе П₁/П₄. Новую ось проекций X₁₄, выбираем параллельно А₁В₁ (рис. 2.16). Для построения новой проекции отрезка АВ проводим новые линии проекционной связи перпендикулярно оси Х₁₄, и отмечаем на них новые проекции А₄, В₄ точек А и В. Для этого откладываем А_х1А₄=А₂А_х, В_х1В₄=В₂В_х.

Рис. 2.14. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня.

Соединяя найденные точки А₄, В₄, получаем новую проекцию А₄В₄ отрезка АВ. Как видим, отрезок АВ в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ является линией уровня, так как А₁В₁ параллельна X₁₄, а следовательно, АВ параллельна П₄. Тогда, очевидно, что А₄В₄ является натуральной величиной отрезка АВ.

Определение натуральной величины плоской фигуры

Для определения натуральной величины плоской фигуры необходимо дополнительную плоскость построить так, чтобы она была параллельна рассматриваемой фигуре, и тогда на эту плоскость проекций плоская фигура проецируется в натуральную величину. Если в качестве плоской фигуры выбрать треугольник, тогда задача формулируется следующим образом: преобразовать плоскость треугольника общего положения в новой системе плоскостей проекций в плоскость уровня.

Одной заменой плоскостей проекций эту задачу решить невозможно, так как необходимо соблюдать условие: новая плоскость должна быть перпендикулярна незаменяемой. Поэтому решим эту задачу двумя заменами: первой заменой введем плоскость, которая перпендикулярна треугольнику АВС, второй заменой – плоскость, параллельную треугольнику АВС.
Для того, чтобы построить плоскость П₄, перпендикулярную треугольнику АВС, необходимо расположить ее так, чтобы она была перпендикулярна фронтали, либо горизонтали треугольника АВС.
Пусть П₄ перпендикулярна горизонтали, тогда новая ось Х₁₄ должна быть перпендикулярна h₁ (рис. 2.17). Построим ее на произвольном расстоянии от треугольника А₁В₁С₁. Затем из точек А₁, В₁, С₁ проведем линии связи перпендикулярно Х₁₄. На каждой из них от оси Х₁₄ отложим отрезок, равный расстоянию от фронтальной проекции соответствующей точки до оси Х₁₂. В результате получаем новую проекцию В₄А₄С₄ треугольника АВС, которая представляет собой прямую, поскольку плоскость треугольника АВС перпендикулярна плоскости П₄.

Рис. 2.15. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.

Второй заменой вводим вместо П₁ плоскость П₅, параллельную плоскости треугольника АВС. Тогда получается система плоскостей проекций П₄/П₅, ось Х₄₅ которой параллельна В₄А₄С₄. Она может быть расположена на произвольном расстоянии от В₄А₄С₄. Далее из точек В₄ А₄ С₄ проводим линии связи перпендикулярно Х₄₅, и на каждой из них от оси Х₄₅ откладываем отрезок, равный расстоянию от горизонтальной проекции соответствующей точки до оси Х₁₄. Получим точки А₅, В₅, С₅, соединив которые имеем треугольник А₅В₅С₅, который и является натуральной величиной треугольника АВС, поскольку в новой системе плоскостей проекций треугольник АВС параллелен плоскости П₅.