Лекция №1. Определители и порядка и их свойства. Определитель n го порядка

Лекция №1. Определители 2 и 3 порядка и их свойства. Определитель n-го порядка.

Пусть заданы числа , (действительные или комплексные). Рассмотрим таблицу чисел:

Число , соответствующее данной таблице чисел, называется определителем (или детерминантом) 2 порядка. Итак:

Здесь , – называются элементами определителя. Определитель 2 порядка имеет две строки и два столбца: – элементы первой строки, – элементы второй строки, – элементы первого столбца и – элементы второго столбца. Так же определитель имеет две диагонали: - элементы основной диагонали, - элементы побочной диагонали.
Например:

Рассмотрим теперь таблицу из 9 чисел:

Определителем 3 порядка, соответствующим данной таблице чисел, называется число:


Выражение в правой части получается следующим образом: произведение чисел, расположенных на главной диагонали и два произведения чисел, стоящих на линиях, параллельных главной диагонали на элемент, стоящий в противоположном углу, берутся со знаком плюс. Три произведения, которые строятся по такому же правилу, но относительно побочной диагонали, берутся со знаком минус. Схематически это правило может быть изображено следующим образом:
Э то правило вычисления определителя 3-го порядка называется правилом треугольника.
Можно вычислить следующим образом: Первый и второй столбцы напишем на месте четвертого и пятого
у множение диагональных элементов параллельные основной берем со своими знаками, а параллельные побочной – с противоположными знаками. Это правило вычисления определителя 3-го порядка называется правилом Сариуса.
Пример 1. Вычислить определитель:

Решение:


П ример 2. Вычислить определитель:

Свойства определителей 3-го порядка:
Транспонирование, т.е. замена строк столбцами не меняет значения определителя. Доказательство проводится непосредственным вычислением:




Мы видим, что
2. При перестановке двух строк (или двух столбцов) определитель меняет знак.
Пусть:

- определитель, полученный из перестановкой первой и второй строк:

Это свойство легко проверяется непосредственным вычислением.
3. Общий множитель элементов какой-либо строки (или столбца) можно вынести за знак определителя:

4. Определитель, у которого элементы некоторой строки (или столбца) равны нулю, равен 0.

5. Определитель, имеющий две равные строки (или два равных столбца), равен нулю.
Действительно,



Миноры и алгебраические дополнения
Определение. Минором определителя третьего порядка, соответствующим некоторому элементу определителя, называется определитель второго порядка, который получится, если вычеркнуть строку и столбец, на пересечении которых стоит данный элемент. Минор, соответствующий элементу , обозначается
Например, в определителе:

Минор , соответствующий элементу , будет равен:

Минор, соответствующий элементу :

Определение. Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя третьего порядка называется соответствующий ему минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, чётная, и со знаком минус, если эта сумма нечетная. Алгебраическое дополнение элемента обозначается .
Таким образом:

Пусть

Рассмотрим дальнейшие свойства определителей третьего порядка.
6. Сумма произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения равна определителю, а сумма произведений элементов некоторого ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.
Определитель можно записать в виде:




где - алгебраическое дополнение элемента
Итак, мы получили, что определитель может быть представлен в виде:

Такое представление называется разложением определителя по элементам первой строки. Аналогичное разложение можно написать по отношению к любой строке или столбцу. Итак, имеют место разложения определителя:
по 1-ойстроке
по 2-ойстроке
по 3-ейстроке
по 1-омустолбцу
по 2-омустолбцу
по 3-емустолбцу
Таким образом, определитель равен сумме произведений элементов какого-либо ряда на соответствующие алгебраические дополнения.
7. Если элементы некоторого ряда (строки или столбца) представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей: первый из них имеет в указанном ряду первые слагаемые, второй- вторые.
Пусть

Разложим определитель по элементам первой строки:

Пример 3. Вычислить определитель









Пример 4. Вычислить определитель
Вычислите определитель после упрощения до.











Пример 5. Вычислить определитель