Лекция 1: Детерминанты

Определение 10. Произведением матрицы A=(a_ij) на число k называется такая матрица C=(c_ij), у которой (c_ij) = (ka_ij).
Для операции произведение матрицы на число справедливы следующие соотношения:

• 
  kA=Ak ;
  
• 
  k(A+B)=Ak+Bk ;
  
• 
  ;
  
• 
  .
  

Определение 11. Матрица B, у которой все элементы равны элементам матрицы A по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки по сравнению со знаками соответствующих элементов матрицы A, называется противоположнойматрице A и записывается B=(-1)(a_ij).
Заметим, что умножение любой матрицы на нулевую дает в результате нулевую матрицу, как и в обычной алгебре, т.е.  .
Если A - квадратная матрица, то тогда также очевидно равенство

где n - размер матрицы A.
Определение 12. Если A=(a_ij)_mxp, а B=(b_ij)_pxn, то произведением матрицы A на матрицу B назовем матрицу C,каждый элемент которой вычисляют по формуле:
C = AxB = (a_ij)_mxpx(b_ij)_pxn=(a_s1b_1k+a_s2b_2k+...+a_skb_sk)_mxn=(c_ij)_mxn
Из определения 12 видно, что каждый элемент матрицы C = AB, расположенный в s -ой строке и k -ом столбце равен сумме произведений элементов s -ой строки матрицы A на элементы k -го столбца матрицы B.
При перемножении матриц можно воспользоваться следующей таблицей. Покажем это на примере.
Пусть требуется перемножить матрицы  и  т.е. найти AB . Составим таблицу: слева запишем элементы матрицы А (которую умножают), а снизу – элементы матрицы В (на которую умножают):

1	2	3
4	5	6
3	2	1
			2	1
			4	3
			6	5

Результат будем записывать в выделенных ячейках, по формуле – сумма произведений соответствующих элементов:

1	2	3	1x2+2x4+3x6	1x1+2x3+3x5
4	5	6	4x2+5x4+6x6	4x1+5x3+6x5
3	2	1	3x2+2x4+1x6	3x1+2x3+1x5
			2	1
			4	3
			6	5

Произведя вычисления, получаем:

1	2	3	28	22
4	5	6	64	49
3	2	1	20	14
			2	1
			4	3
			6	5

Это и будет искомая матрица (в выделенных ячейках). Это способ очень наглядный и удобный, позволяет избежать ошибок приперемножении матриц.
Известны следующие очевидные свойства произведений матриц

• 
  Переместительный закон не выполняется, т.е.  . Поэтому различают умножение на матрицу слева или справа;
  
• 
  (A+B)C=AC+BC
  
• 
  (AB)C=A(BC)=ABC
  

Определение 13. Если AB = BA, то такие матрицы A и B называют перестановочными или коммутативными.
Очевидно, что коммутативной с единичной будет любая матрица подходящего размера AE = EA = A.
Теорема. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е.det(AB) = detAxdetB.
Определение 14. Если в некоторой матрице A поменять местами столбцы и строки, то полученная матрица будет называтьсятранспонированной и обозначается A_т.
Определение 15. Если выполняется равенство A = A_т, то такая матрица называется симметрической.
Определение 16. Обратной по отношению к матрице A называется такая матрица, для которой выполняется равенство AA^-1= A^-1A = E.
Определение 17. Матрица, которая имеет обратную называется обратимой или не особенной.
Теорема. Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу A^-1 необходимо и достаточно, чтобы она была бы невырожденной, т.е.  .
Доказательство. Необходимость. Пусть существует матрица A^-1, тогда

т.е. ни один из сомножителей не должен быть равен нулю, следовательно,  .
Достаточность. Пусть  . Надо доказать, что существует обратная матрица A^-1. Покажем это на примере квадратной матрицы третьего порядка. Пусть дана матрица

Найдем миноры второго порядка этой матрицы. Очевидно, что таких миноров будет 9: A_is = (-1)^i+s M_is. Составим присоединенную матрицу из полученных алгебраических дополнений, которая обычно обозначается как

затем найдем произведение

Т.е. AA^*=(detA)E, следовательно  , откуда по определению обратной матрицы получаем

( 2.2)

Теорема доказана. Заметим, что формула (2) известна как популярная расчетная формула для получения обратной матрицы.
Эта важная теорема дает нам простой алгоритм вычисления обратной матрицы, который можно сформулировать так.

1. 
   Вычислить detA ;¹
   
2. 
   Вычислить все алгебраические дополнения матрицы A ;
   
3. 
   Найти обратную матрицу по формуле 2.
   

Пример. Найти обратную матрицу для  и выполнить проверку.
Решение. Вычисляем

следовательно, обратная матрица существует. Найдем присоединенную матрицу A^*. Для этого вычислим все миноры второго порядка матрицы A и алгебраические дополнения:

Составим

и найдем по формуле (2) обратную матрицу:

Проверка

Основные понятия.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.
Пример . , , , .
В общем случае матрица может содержать строк и столбцов
.
Числа называются элементами матрицы, где - указывает номер строки, - указывает номер столбца.
Элементы образуют главную диагональ матрицы. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица размеров называется матрицей – го порядка.
Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е. тогда и только тогда, когда , для всех , .
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной.
Пример . .
Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.
Пример . .
Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной.
Пример . , .
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю.
Пример . , .
Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором (вектор-строкой, вектор-столбцом).
Пример . , .
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной .
Пример . ;
Очевидно, что .
Действия над матрицами.
Матрицы одинаковых размерностей можно складывать и вычитать. Если
, , то , причем
, для всех .
Пример . ,
.
Умножение матрицы на число.
Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый ее элемент умножить на это число.
Пример . Пусть , тогда . Матрица называется противоположной к матрице .
Умножение матриц.
Умножение матриц можно только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы В этом случае справедливо соотношение , причем элементы матрицы равны , , . Другими словами строки матрицы умножаются на столбцы матрицы
Пример . Пусть , . Тогда
,
.
Видим, что в общем случае . Если же выполняется условие , то матрицы и называются перестановочными друг с другом.
Матрица называется ступенчатой, если для её элементов выполняются условия:

1. 
   под первым не нулевым элементом каждой строки находится 0;
   
2. 
   первый ненулевой элемент любой строки находится правее первого не нулевого элемента любой строки, расположенной выше.
   

Пример Следующая матрица является ступенчатой.
.
Элементарные преобразования матриц.
Элементарными преобразованиями матриц являются:

1. 
   Перестановка местами двух любых её строк (столбцов).
   
2. 
   Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число.
   
3. 
   Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
   

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований
Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.