Лекция 1: Детерминанты

Матрицы. Основные определения и типы матриц
Определение 1. Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел a_ij, которые называют элементами матрицы и обозначается

( 2.1)

Заметим, что элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица, которая будет содержать описание вашей библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет матрицей. Но такая матрица будет не числовой. Другой пример. Вместо чисел стоят разные функции, объединенные между собой некоторой зависимостью. Полученная таблица также будет называться матрицей. Иными словами, Матрица, это любая прямоугольная таблица, составленная из однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.
Вместо круглых скобок для записи матриц применяют квадратные скобки или прямые двойные вертикальные линии

( 2.1*)

Определение 2. Если в выражении (1) m = n, то говорят о квадратной матрице, а если m≠n, то о прямоугольной.
В зависимости от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:

1. 
   Матрица - строка (или строковая матрица), состоящая из одной строки. Это прямоугольная матрица размером 1 x n.
   

A=(a₁₁ a₁₂ ... a_n).

2. 
   Матрица - столбец ( столбцевая матрица), состоящая только из одного столбца. Это также прямоугольная матрица размером m x 1
   

3. 
   Матрица, состоящая из одного элемента. A=(a₁₁)_1x1=a₁₁.
   
4. 
   Нулевая матрица, состоящая из одних нулей, в матричной алгебре играет роль 0, обозначается V.
   

5. 
   Единичная матрица, состоящая из нулей, кроме главной диагонали, на которой стоят единицы. Обозначается E и играет роль единицы в матричной алгебре
   

6. 
   Диагональная матрица, квадратная порядка n, состоящая из нулей и на главной диагонали стоят не равные нулю элементы (не обязательно единицы)
   

Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель или детерминант, который составляется из элементов матрицы и обозначается

Очевидно, что D_E=1 ;  .