Lebeg o’lchovi

Lebeg o’lchovi

1. 
   To’plamning tashqi o’lchоvi
   

To’g’ri chiziqda biror oraliq (yoki segment ) berilgan bo’lsa, bu oraliqning (segmentning) uzuligi yoki o’lchovi deb, odatda, ga aytiladi. Endi to’g’ri chiziqdagi ihtiyoriy nuqtali to’plam uchun o’lchov tushinchasi kiritish masalasi kiritadi. To’plamning o’lchovi tushinchani turlicha kiritish mumkin; o’lchov tushinchasi uzinlik tushinchasini umumlashtirish natijada kelib chiqadi.
chegaralangan va shu to’plamni o’z ichiga olgan eng kichik segment bo’lsin. Faraz qilaylik , soni chekli yoki, sanoqli oraliqlar sistemasi bo’lib, ning har bir nuqtasi oraliqlarning birortasida joylashgan bo’lsin. bilan oraliqning uzunligini belgilaymiz. Bunday oraliqlar sistemasini cheksiz ko’p usullar bilan kiritish mumkin. U holda yig’indi ham cheksiz ko’p qiymatga ega bo’ladi, ammo chunki -oraliqning uzunligi.Demak yig’indilar sistemasi quyidan chegaralangan va shuning uchun u aniq quyi chegaraga ega.
1-Ta’rif. yig’indilar sistemasining aniq quyi chegarasi to’plamning tashqi o’lchovi deyiladi va uni bilan belgilanadi,ya’ni =
1-Izoh.a) bo’lgani uchun bo’ladi.
b) tengsizlik o’rinli; haqiqatan, har qanday uchun Bunda:

Bu yerda ixtiyoriy bo’lganligi uchun

Ushbu

son to’plamning ichki o’lchovi deyiladi. , chunki, va o’z navbatida .
Tashqi va ichki o’lchovining bir nechta xossalarini ko’rib o’tamiz.
1-Teorema. E to’plamning tashqi o’lchovi uning ichki o’lchovidan kichik emas, y’ani

Isbot. Aniq quyi chegaraning tarifiga muvofiq, har qanday kichik musbat son uchun E to’plamni o’z ichiga olgan shunday oraliqlar sistemasi mavjudki, ushbu

( son oraliqning uzunligi).
Shunga o’xshash, to’plamni o’z ichiga olgan oraliqlar sistemasi mavjudki, ushbu

( son oraliqning uzunligi) tengsizliklar bajariladi. { } va { } oraliqlar sistemasi tuzulishiga ko’ra
va
Demak,
(3)
(1),(2)va (3) munosabatlarga muofiq:

Bundan:

Bu tengsizlik ihtiyoriy kichik uchun bajarilganligi sababli undan

munasabat kelib chiqadi.