Лаплас тенгламасининг фундаментал ечими

Лаплас тенгламасининг фундаментал ечими
Режа:

1. 
   Текисликда Лаплас тенгламасининг фундаментал ечими.
   
2. 
   Уч ўлчовли фазода фундаментал ечим.
   
3. 
   Умумий ҳолда, яъни п – ­ўлчовли фазода фундаментал ечим.
   

Таянч тушунчалар
Лаплас тенгламасининг фундаментал ечими, текисликда фундаментал ечимнинг кўриниши, фазода фундаментал ечимнинг кўриниши, n ўлчовли фазода фундаментал ечимнинг кўриниши
Таъриф. Лаплас тенгламасининг фақат битта геометрик ўзгарувчига боғлик ечимига, унинг фундаментал ечими дейилади ёки элементар ечими дейилади.
Даставвал n=2 ҳолни ўрганамиз.
Бу ҳолда қутб координаталарида
.

Лаплас

тенгламасининг кўринишини топамиз:

Буни топишдан олдин қуйидаги битта теорема ва иккита натижани келтириб ўтамиз (исботсиз).
Теорема. Агар

дан қуйидаги алмаштиришни бажарсак,

у ҳолда Лаплас оператори қуйидаги кўринишда бўлади.

бу ерда,

Натижа-1 (Сферик координаталар системаси)
бўлса,


Натижа – 2 (Цилиндрик координаталар системаси)

Келтирилган теорема ва натижалардан қуйидагига эга бўламиз;

.

Фундаментал ечимнинг таърифига асосан бўлгани учун . Бундан фойдаланиб

Агар бўлса,

Демак, n=2 ҳолда фундаментал ечим ушбу

кўринишда бўлади.

n=3 ҳолда, биз Лаплас тенгламасининг

сферик координаталардаги

кўринишини топамиз:

.

Фундаментал ечимнинг таърифига биноан бўлгани учун.

бўлиб, Лаплас тенгламаси

кўринишини олади. Бу тенгламани ечиб

топамиз.

деб танласак , яъни
.
Шундай қилиб n=3 ҳолда Лаплас тенгламасининг фундаментал ечими
;

кўринишда бўлар экан.

Энди Лаплас тенгламасининг фундаментал ечимини умумий ҳолда да топамиз: Ушбу Лаплас

тенгламасини

, ,
, ,

бу ерда фақат r га боғлиқ ечимини топамиз. Бунинг учун

.

Шундай қилиб, ушбу

тенгламани ҳосил қиламиз. Бу тенгламани ечамиз.

,

,

яъни фундаментал ечим,

;
кўринишда бўлади.
Топилган элементар ечимларнинг кўринишидан маълумки ларда фундаментал ечим фазода гармоник бўлиб ҳар бир фиксирланган x да y - бўйича ҳам Лаплас тенгламасини қаноатлантиради, яъни





фазода

фундаментал ечим чексизликда логарифмик маҳсусликка эга бўлади. – фундаментал ечим да фазода гармоник функция бўлади.

Адабиётлар


1.Салоҳитдинов М.С., Математик физика тенгламалари, Т., «Ўзбекистон», 2002.
2.Владимиров В.С., Уравнения математической физики, М, «Наука», 1981.
3.Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики, М, «Наука», 1977.