Laplas almashtirishlarining chiziqli differensial tenglamalarni yechishga qoʻllanilishi. Oʻzgarmas koeffitsiyentli oddiy chiziqli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini yechish

11-MAVZU.

LAPLAS ALMASHTIRISHLARINING CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI YECHISHGA QOʻLLANILISHI.
Oʻzgarmas koeffitsiyentli oddiy chiziqli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini yechish.

Quyidagicha differensial tenglamani koʻrib chiqamiz:

(1)

Quyidagicha boshlangʻich shartlarni bajaruvchi (1) tenglamaning yechimini qidiramiz:

, … , (2)

Aytaylik ; boʻlsin. (1) ni ikkala tomoniga Laplas almashtirishini va aslni differensiallash teoremasi, hamda Laplas almashtirishini chiziqlilik xossasiga koʻra, (2) boshlangʻich shartli (1) differensial tenglamani oʻrniga operator tenglamaga ega boʻlamiz:

(3)

Operator tenglamaning yechimini topamiz:

(4)

X(p) tasvir boʻyicha x(t) aslni topib, (1) va (2) Koshi masalasi yechimi x(t) ni topamiz.

Misol 1. ; x(0)=1; ; x(t)-?

u holda





kasrni soda kasrlarga yoyamiz:

; A, B, C-koeffitsiyentlarni topamiz.

Demak yechim

Oʻzgarmas koeffitsiyentli n-tartibli chiziqli differensial tenglamani yechish talab qilingan boʻlsin

; (1)

0 ga teng boʻlgan boshlangʻich shartlarda

(5)

yechimini topish talab qilinsin. Aytaylik

L(x)=1 (6)

tenglamaning (2) shartlarni bajaradigan yechimi aniq boʻlsin. Operator tenglamaga oʻtamiz:

, (7)

(8)

Operator koʻrinishdagi (7) va (8) tenglamalardan

Dyumel formulasiga koʻra:

(9)

ekanligini eʼtiborga olib

(10)

bundan (1) tenglamaning (5) nol boshlangʻich shartlardagi x(t) yechimi, quyidagicha boʻladi:

(11)

bunda (6) va (5) yordamchi masala yechimi.

Misol. Dyumel formulasi yordamida boshlangʻich shartlarni bajaruvchi differensial tenglamaning yechimi topilsin.

Yordamchi masalani koʻrib chiqamiz:

Operatsion usuldan foydalanib, , , 1

ekanligini topamiz, undan esa

u holda (11) formulaga koʻra

=


CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASINI OPERATSION USULDA YECHISH

Oʻzgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasini operator yordamida yechish sxemasi, bitta differensial tenglamani yechish kabidir.

Misol: Quyidagicha differensial tenglamalar sistemasini yeching

Agar , , u holda ;

; va quyidagicha operatorli sistemaga oʻtamiz:

ushbu sistemani yechib

u holda X(p) va Y(p) lar uchun asllar quyidagicha koʻrinishni oladi: