Laplas almashtirishi

Laplas almashtirishi - dif ferensial tenglamalarni yechishda qoʻllaniladigan almashtirishlardan biri. 1812 yilda P. S. Laplas kiritgan. Laplas almashtirishi elektrotexnika, mexanika masalalarini yechishda, chizikli oddiy differensial tenglamalar nazariyasida, mat. fizika masalalarini yechishda koʻllaniladi

O’xshashlik teoremasi. f(t) F(p) bo‘lsin.

U holda



Isboti. Tasvirning ta’rifiga ko’ra quyidagiga egamiz:

f( t)

Bu integralda t=z deb, uzgaruvchini almashtiramiz. U holda dz= dt. Demak,

Yechilishi. Chiziqlilik xossasidan va (12) formulalardan foydalanib, topamiz:

2- Misol. Ushbu



tasviriga ko’ra originalni toping.

Yechilishi. Chiziqlilik xossasidan va (12) formulalardan foydalanib, topamiz:

e^-αt_tⁿ funksiyaning tasvirini topamiz. (9) formulaga ko’ra

Siljitish teoremasini qo’llanib, topamiz:

Bu formulada- ni ga almashtiramiz:

⁽¹⁴⁾

26.3. Kechikish teoremasi. F(t) original bo‘lsin. Quyidagicha aniqlangan f (t) funksiyani qaraymiz:

Y=f(t)
0

(t)

Y=(t)

1

0  t 0 3 x

103-rasm. 104-rasm.
funksiya grafigi original grafigi у = f (t) ni O t o’q bo’ylab _ᵠkattalikka surish orqali hosil qilinadi (103-rasm).

Demak, agar f (t) funksiya biror jarayonni tavsiflayotgan bo‘lsa, u holda f(t)funksiya o’sha jarayonni t ga kechikish bilan tavsiflaydi.

Originalning argumenti τ ga kechikganda, bu originalning tasvi­rini topamiz. Shu maqsadda quyidagi teoremani isbot qilamiz.

Teorema. τ>0ва f(t) F(p) bo‘lsin.

U holda f(t) e^-pt F(p)bo‘ladi.

Isboti. Tavsirning ta’rifiga ko’ra quyidagiga egamiz:



Chunki, t<t ya’ni t-τ<0 uchun f(t-τ)=0. Keyingi integralda t-τ=z deb o’zgaruvchini almashtiramiz. U holda t+τ=z, dt=dz va



Shunday qilib,

F(t-τ) e^-ptF(p).

1-Misol. Grafigi 104- rasmda keltirilgan funksiyaning tasvirini toping.

Ye ch i l i sh i. Birlik б₀(t) funksiya yordamida bu funksiyani yagona analitik ifoda orqali yozamiz:



(t)

bo‘lgani uchun, kechikish teoremasiga ko’ra:



2-Misol. (t-2)³ originalning tasvirini toping.

Yechilishi. Bu yerda f(t) = t³, τ=2 эканимаълум.

bo‘lgani uchun, kechikish teoremasiga ko’ra quyidagiga egamiz: