Lagarofmik funksiya

Logx (3x-1)=2
Lg(3x-4)< lg(2x+1)
Log8 (x2- 4x+3)<1
Log3 (x2 +2x)>1
Log2 (x2 +2x)<3

Lagarfmik grafik

Lagarfmik grafik

Logarifmik tenglama — tarkibida logarifmlar boʻlgan tenglama. Logarifmik tenglama odatda
{\displaystyle \log _{a}{f(x)}=\log _{a}{g(x)}\,}
(Bu yerda a >0, a≠1) koʻrinishga keltiriladi.
Yechish[tahrir | manbasini tahrirlash]
{\displaystyle \log _{a}{f(x)}=\log _{a}{g(x)}\,}
tenglamani yechish uchun:
1. {\displaystyle f(x)=g(x)}
tenglamani yechish kerak;
2. topilgan ildizlar ichidan f(x) >0 va g(x) >0 tengsizliklarni qanoatlantiradiganlari tanlab olinadi; f(x)=g(x) tenglamaning qolgan ildizlari
{\displaystyle \log _{a}{f(x)}=\log _{a}{g(x)}\,}
tenglama uchun chet ildizlardir.
Umuman olganda, logarifmik tenglamalarni yechishning ikkita asosiy usuli mavjud:
1. berilgan tenglamani
{\displaystyle \log _{a}{f(x)}=\log _{a}{g(x)},\,}
soʻngra
{\displaystyle f(x)=g(x)}
koʻrinishiga keltirib yechish usuli;


4 Lagarofmik funksiyaning asoslari
Faraz qilaylik, biz quyidagi tenglamani yechishimiz kerak bo’lsin:

Biz 10 sonining shunday darajasini topishimiz kerakki, natija 1000 bo’lsin. ekanligidan, tenglamaning javobi 3 bo’ladi. Bu yerda 3 soni “Logarifm 10 asosga ko’ra 1000” deb o’qiladi.

Ta’rif:
Logarifm deb, quyidagi shartlarni bajarishga aytiladi:

bundan

ekanligini ko’rishimiz mumkin.

shunday y songa tengki, bunda a ni x-darajasi y ga teng bo’ladi. a soni logarifmik asos deb ataladi. Bu sonni biz logarifm a asosga ko’ra x deb o’qiymiz.

10 asosli logarifmlar uchun , soni shunday y darajaga tengki, bunda bo’ladi. Shu sababli, biz logarifmni ko’rsatkich deb faraz qilishimiz mumkin. Biz logarifmik tenglamalarni ko’rsatkichli tenglamalarga quyidagicha tartibda o’tkazishimiz mumkin:
Logarifmik funksiyaning grafigini chizish uchun uning ekvivalenti bo’lgan ko’rsatkichli funksiyani chizishimiz kerak.
1-MISOL

funksiyaning grafigini chizing.

Yechish:

Birinchi navbatda, biz berilgan funksiyaga ekvivalent bo’lgan ko’rsatkichli funksiyaning grafigini chizamiz:

ga ma’lum bir qiymatlar berib, unga to’g’ri keladigan x ning qiymatlarini Dekart koordinatalar tekisligida tasvirlab, mos nuqtalarni egri chiziq yordamida tutashtiramiz:

funksiyalarning grafiklari quyidagi chizmada keltirilgan. f(x) funksiya y=x to’g’ri chiziqqa nisbatan g(x) funksiyaga simmetrik ekanligidan bu ikkala funksiya bir-biriga nisbatan o’zaro teskari ekanligini ko’rish mimkin:

Biz hozir siz bilan teskari funksiyalar haqida batafsil to’xtala olmasak ham quyidagi ifodani(o’zaro teskarilik) eslab qolishingiz kerak:
Logarifmik tenglama — tarkibida logarifmlar boʻlgan tenglama. Logarifmik tenglama odatda
{\displaystyle \log _{a}{f(x)}=\log _{a}{g(x)}\,}
(Bu yerda a >0, a≠1) koʻrinishga keltiriladi.
Yechish[tahrir | manbasini tahrirlash]
{\displaystyle \log _{a}{f(x)}=\log _{a}{g(x)}\,}
tenglamani yechish uchun:
1. {\displaystyle f(x)=g(x)}
tenglamani yechish kerak;
2. topilgan ildizlar ichidan f(x) >0 va g(x) >0 tengsizliklarni qanoatlantiradiganlari tanlab olinadi; f(x)=g(x) tenglamaning qolgan ildizlari
{\displaystyle \log _{a}{f(x)}=\log _{a}{g(x)}\,}
tenglama uchun chet ildizlardir.
Umuman olganda, logarifmik tenglamalarni yechishning ikkita asosiy usuli mavjud:
1. berilgan tenglamani
{\displaystyle \log _{a}{f(x)}=\log _{a}{g(x)},\,}
soʻngra
{\displaystyle f(x)=g(x)}
koʻrinishiga keltirib yechish usuli;
2. yangi oʻzgaruvchi kiritib yechish usuli.
Yechish. 1-teoremaga asosan yuqoridagi misoldan quyidagi sistemani tuzamiz.
x²-3x-5 = 7-2x
x²-3x-5 >0
7-2x>0

sistemadagi tenglamani yechamiz.

x²-3x-5 = 7-2x
x²-x-12=0 => x₁=4, x₂=-3
x₁=4, x₂=-3 ildizlarni tuzgan sistemadagi birorta tengsizlikka qo’yamiz, tengsizlikni qanoatlantirsa berilgan tenglamani yechimi, qanoatlantirmasa berilgan tenglamani yechimi bo’lolmaydi. Demak, x₁=4 sistemadagi tengsizlikni qanoatlantirmaydi. x₂=-3 tengsizlikni qanoatlantirmaydi.Berilgan tenglamani ildizi x=-3
2-misol. Berilgan tenglamani yeching.
lg(x+4) + lg(2x+3) = lg(1-2x)
Yechish.Berilgan logarifmik tenglamani logarifmning xossasiga asosan quyidagicha yozamiz.
lg((x+4)(2x+3)) = lg(1-2x)
(x+4)(2x+3) =1-2x => 2x²+13x+11 =0 x₁=-1, x₂=-5,5 berilgan tenglamadan quyidagi sistemani tuzamiz.
x+4>0

2x+3>0
1-2x >0

tenglamani ildizlarini tuzilgan sistemadagi tengsizliklarni har biriga etib qo’yamiz. x₁=-1 sistemadagi tengsizlikni qanoatlantiradi. Demak, berilgan tenglamaning yechimi x=-1
3-misol. Tenglamaning kichik ildizini toping.
log₁₄x∙log_1,25x = log₁₄1,25
Yechish.Tenglikning chap tarafidagi ikkinchi ko’paytuvchini 14 asosga o’tamiz.
Tenglamani yeching.
log_x+4(x²-1) = log_x+4(5-x)
Yechish. Berilgan logarifmik tenglamadan quyidagi sistemani tuzamiz.
x²-1 = 5-x
x²-1>0
5-x>0

5 Foydalanlgan adabiyotlar

1 .https://hozir.org/logarifmik-tenglama-va-tengsizliklarni-yechish-usuullari.html
2 . https://uz.wikipedia.org/wiki/Logarifmik_tenglama
3 . https://hozir.org/korsatkichli-funksiyalarning-grafiklari.html?page=9
4 . https://fayllar.org/iogarifmik-va-eksponsial-funksiyalar.html
5 . http://iht.uz/download/slides/1kurs/algebra/uz/2sem/015-mavzu.pdf