Лабораторная работа№1 Решение системы линейных уравнений методом квадратных корней

Решение. Так как система линейных уравнений в матричной форме имеет вид Ax= b. Вектор решения получается из x=A^-1·b.
Решение системы уравнений 2.3 с помощью Excelприведено на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Решение системы линейных алгебраических уравнений 2.3 в Excel
Для решения систем линейных уравнений в MathCAD существует встроенная функция lsolve(A,b), которая возвращает вектор x для системы
линейных уравнений при заданной матрице коэффициентов и векторе свободных членов.
Также для решения системы линейных уравнений используются формулы Крамера и метод Гаусса.
На рисунке 2.2 представлено решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и с помощью функции lsolve(A,b).

Рисунок 2.1 – Решение системы линейных уравнений 2.3 методом обратной матрицы и с помощью функции lsolve (A,b)
Решение системы линейных уравнений с помощью формул Крамера представлено на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 – Решение системы уравнений 2.3 с помощью формул
Крамера
Для решения системы уравнений по формулам Крамера необходимо:

1. 
   Переменной ORIGIN присвоить значение равное единице.
   
2. 
   Ввести матрицу системы и столбец правых частей системы уравнений.
   
3. 
   Вычислить определитель матрицы системы (система имеет единственное решение, если определитель отличен от нуля).
   
4. 
   Вычислить определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца столбцом правых частей.
   
5. 
   Определить решение системы по формулам Крамера x_i  ^i , где
   

 _ – определитель матрицы системы, _i – определитель матрицы n-го порядка, полученный из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом правых частей системы уравнений.
Для решения системы уравнений методом Гаусса необходимо:

1. 
   Переменной ORIGIN присвоить значение равное единице.
   
2. 
   Ввести матрицу системы и столбец правых частей системы уравнений.
   
3. 
   Сформировать расширенную матрицы системы с помощью функции augment(A,b).
   
4. 
   Привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду с помощью функции rref(Ar).
   
5. 
   Вывести решение системы, выделив последний столбец полученной матрицы для чего сформировать столбец решения системы с помощью функции submatrix(Ag, ir,jr,iс ,jc) – блок матрицы Ag, состоящий из всех элементов, содержащихся в строках от irдоjr и столбцах от icдоjc.
   
6. 
   Проверить правильность решения вычислив Ах– b.
   

Решение системы уравнений в MATLAB представлено на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 – Решение системы уравнений 2.3 в MATLAB
Для численного решения системы уравнений в MATLAB, с помощью пакета Simulink сведем систему линейных уравнений к эквивалентной системе дифференциальных уравнений:
(2.4)
Составим структурную схему полученной модели.
Дляеепостроенияиспользованыблоки: Gain; Add; Constant; Integrator; Display;Mux; Scope. БлокиAdd и GainнаходятсявбиблиотекеLibrary: Simulink/Math Operations (рисунок 2.5).Блоки: Constant; Integrator; Display; Mux; Scope, атакже Gain находятсявбиблиотекеLibrary:Commonly Used Blocks (рисунок 2.6). Для установки параметров блока необходимо открыть окно параметров двойным щелчком мыши на соответствующем блоке. На рисунке 2.7 показано окно параметров блока Add.