Лабораторная работа №1 Колебания атомов кристаллической решетки и оптические колебательные спектры кристаллов

E=∑E_qj=∑ћω_j(q)(n_qj + 1/2) (3)
^{q, j q, j}
Где n_qj – колебательное квантовое число, а суммирование выполняется по всем волновым векторам q и ветвям j колебаний.
Квант энергии ћω_j(q) представляет собой фонон. При данном q в кристалле существует 3S различных фононов (типов ТА, LA, ТО и LO). Правила отбора по колебательному квантовому числу n_qj имеют вид ∆n_qj=±I, которые описывают соответственно испускания (∆n_qj=+ I) и поглощения (∆n_qj= - I) фонона.
Если при колебаниях атомов кристалла вблизи их положения равновесия образуется осциллирующий дипольный момент, то для частоты излучения, близкой к частотам колебаний атомов кристалла ω≈ω_j(q) возможно взаимодействие излучения с осциллирующим дипольным моментом. Это взаимодействие приводит к сильной дисперсии оптических постоянных и особенностям оптических спектров в области частот ω≈ω_j(q). Сразу отметим, что осциллирующий дипольный момент не может появляться в кристаллах со структурой алмаза, где атомы обеих подрешеток одинаковы. Такие кристаллы не имеют оптической активности в области ω≈ω_j(q) и особенностей, связанных с колебательным движением атомов в оптических спектрах, здесь не наблюдается. В то же время, в кристаллах со структурой сфалерита, где атомы обеих подрешеток различны и их колебание создает осциллирующий дипольный момент, особенности оптических спектров в области ω≈ω_j(q) выражены отчетливо (формально появление осциллирующего диполя и особенности оптических спектров в структуре сфалерита могут быть сопоставлены со снятием характерных вырождений ТО и LO ветвей при q=0 см. рис.2).
Как правило, в ионных кристаллах в области ω≈ω_j наблюдается характерная полоса отражения, максимум которой близок к R=1, называемая полосой «остаточных лучей». Такое название связано с тем, что эта полоса в большинстве кристаллов находится в дальней инфракрасной области спектра, т.е. в области, где кристалл должен быть прозрачным, а отражение незначительным. «Остаточные лучи», таким образом, нарушают прозрачность кристалла в инфракрасной области спектра (остаются в отражении).Для описания частотной зависимости n и К воспользуемся дисперсионными выражениями для классического гармонического осциллятора. В теории Лоренца эти выражения получаются из уравнения движения разноименных ионов в узлах кристаллической решетки, находящихся под действием электрического поля электромагнитной волны, при подстановке получаемого смещения в материальное уравнение для поляризации среды. Тогда


(4)
(5)

Где ε₁ и ε₂ - вещественная и мнимая части диэлектрической проницаемости; n и k – показатели преломления и поглощения среды, ε₁ = n² - k²; ε₂ =2nk; ε_беск – высокочастотная диэлектрическая проницаемость среды, определяемая вкладом в поляризуемость кристалла связанных электронов (представляет собой диэлектрическую проницаемость кристалла в области «бесконечности» высоких частот от частоты колебаний решетки);

ε ₀ - низкочастотная диэлектрическая проницаемость среды, определяемая суммарным вкладом в поляризуемость кристалла, как связанных электронов, так и колеблющихся ионов (представляет собой диэлектрическую проницаемость кристалла в области низких (до 0) частот от частоты колебаний решетки);
ω₀ – частота колебаний кристаллической решетки, γ – ширина резонансного контура в спектре, связанная с постоянной затухания как γ = 1/τ; ω – частота колебаний атомов.
Рассмотрим теперь, какие из описанных выше 3SN колебаний кристалла могут взаимодействовать с магнитными волнами. Мы отмечали выше, что оптической активностью обладают колебания атомов кристалла, которые образуют осциллирующий дипольный момент, т.е. когда движение разнородных атомов происходит в противофазе. Такими колебаниями являются оптические колебания кристалла, а именно они взаимодействуют с электромагнитным излучением. Акустические моды осциллирующего дипольного момента не создают, так как разнородные атомы кристалла (анионная и катионная подрешетки) движутся в фазе и акустические колебания кристалла не взаимодействуют со световыми волнами.
Электромагнитные волны имеют поперечную поляризацию, поэтому в дисперсионных соотношениях (4) и (5) должны быть взяты частоты поперечных колебаний, а точнее поперечных оптических (ТО) колебаний, т.е. ω₀ = ω_ТО.
И, наконец, следующее: при взаимодействии излучения с колебаниями кристаллической решетки, кроме закона сохранения энергии, должен выполняться так же закон сохранения импульса:
ћk_фот=ћq (6)

Где k_фот – импульс фотона, модуль которого связан с длиной волны излучения λ как |k_фот|=2π/λ.

Таким образом, взаимодействие магнитного излучения с колебаниями атомов кристалла (фотонов и фонов) происходят в тех точках ω-q диаграммы (см. рис. 2), где одновременно выполняются законы сохранения энергии и импульса, т.е. в точках пересечения дисперсионных ветвей ω(q) для ТО – фононов с прямой ω=сk_фот для фотонов.
Если длина волны излучения λ-10 мкм, то импульс фотона k_фот=2π/λ = 0,6*10⁴ см^-1. В то же время, импульс фонона измеряется в пределах q=0…π/а и при а=30нм его максимальное значение составляет q=10­⁸ см^-1. Таким образом k_фот«q и прямая ω=сq проходит почти параллельно оси ординат, и интересующая нас точка пересечения лежит вблизи q≈0. Таким образом, в качестве резонансных частот ω₀ в выражениях (4) и (5) должны использоваться частоты длинноволновых поперечных оптических колебаний.
Рассмотрим частотную зависимость вещественной ε₁ и мнимой ε₂ частей диэлектрической проницаемости кристалла.

В интересующем нас случае кристаллов с тетраэдрической координацией атомов (S=2) имеется 2 вырожденных поперечных оптических фонона. Соотношения (4) и (5) хорошо описывают здесь дисперсию оптических постоянных. (В более общем случае, когда имеется несколько различных ТО (0) фононов), выражения (4) и (5) должны быть применены независимо к каждому из фононов, а результирующие значения ε₁ и ε₂ могут быть определены путем суммирования (4) и (5) по всем ТО (о) фононам).

Зависимости ε₁ = n² - k² и ε₂ =2nk от приведенной частоты, определяемые на основании соотношений (4) и (5), представлены графически на рис.3, а. На поле рисунка показаны параметры ε_беск,, ε₀ , ω_ТО, γ, входящие в рассчетные дисперсионные выражения.
Прямое экспериментальное определение величин n и k (или ε₁ и ε₂) в области резонанса представляет значительные трудности, т.к. коэффициент поглощения в полосе очень велик и в этой области R→1. Поэтому более предпочтительным здесь является исследование спектров отражения. Используя выражения (4) и (5) нетрудно рассчитать вид спектров отражения в области однофононного резонанса:
(7)
Где N*=n-ik и ε=ε₁ –iε₂ – соответственно комплексный показатель преломления и комплексная диэлектрическая проницаемость среды.
Результаты расчетов спектров отражения в области однофононного резонанса при всех значениях постоянной затухания
γ=0.005ω₀ ; γ=0.02ω₀ ; γ=0.05ω₀ .
Значения коэффициента отражения в коротковолновой (ω→бесконечности) и длинноволновой (ω →0) областях от полосы остаточных лучей определяются соответственно высокочастотной ε_беск и низкочастотной ε₀ диэлектрической проницаемостью кристалла. Длинноволновая граница коэффициента отражения соответствует резонансной частоте, и положение этой границы позволяет, таким образом, определить частоту ТО (Г) фона. Аналогично, в коротковолновой области полоса «остаточных лучей» ограничена частотой длинноволнового продольного фонона. Постоянная затухания определяет максимум коэффициента отражения в полосе «остаточных лучей» (заметим, что при возрастании γ происходит размытее полосы «остаточных лучей», так что прямое нахождение границ этой полосы и определение частот длинноволновых ТО и LO фононов становится затруднительным).
Наряду с рассмотренной полосой «остаточных лучей», называемой так же однофононной полосой, в оптических спектрах (спектрах пропускания) проявляются и более слабые полосы, обусловленные взаимодействием излучения одновременно с двумя, тремя и т.д. фонами. Такие полосы поглощения называются однофононными; возможные механизмы поглощения здесь связаны со следующими явлениями:

1. 
   С ангармонизмом колебаний атомов, благодаря чему появляется осциллирующий дипольный момент на удвоенной и других частотах, кратных основным частотам колебаний атомов кристалла;
   
2. 
   При поглощении двух фонов – один из них создает дипольный момент в кристалле, а второй заставляет этот момент осциллировать.
   

Спектры многофононного поглощения непрерывны, максимумы в спектрах наблюдаются в точках, которым отвечают максимумы функций двухфононной плотности состояний, т.е. число пар начальных и конечных состояний, принадлежащих одной и той же ветви ω(q) (или различным ветвям ω(q)) и разделенных энергией ω(q₁) + ω(q₂), где q₁ + q₂ =0.
Вид спектра двухфононного поглощения для кристалла карбида кремния показан на рис.4 (см. файл-приложение). На поле рисунка отмечены волновые числа, отвечающие максимумам поглощения, и даны комбинации фононов, отвечающие этим максимумам. Как видно, в двухфононных спектрах поглощения проявляются не только оптические, но и акустические фононы, и, таким образом, исследование этих спектров позволяет находить акустические колебания кристаллической решетки, не наблюдаемых в спектре однофононного поглощения.
Содержание экспериментальной части:
В ходе работы необходимо выполнить экспериментальное измерение спектра:
Однофононного отражения карбида кремния;
Двухфононного поглощения карбида кремния.
Измерения выполняются в области спектра λ=2,5…..25 мкм при комнатной температуре.
Для измерений используют двух лучевой спектрофотометр инфракрасного диапазона ИКС-29. При измерениях спектров отражения спектрофотометр комплектуется дополнительно приставкой зеркального отражения
ИПО – 76, устанавливаемой в кюветную камеру прибора.

ВНИМАНИЕ!

ПЕРЕД НАЧАЛОМ РАБОТЫ ПО ОПИСАНИЮ И ИНСТРУКЦИИ ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ СПЕКТРОФОТОМЕТРА ИКС – 29, ИМЕЮЩИХСЯ У ЛАБОРАНТОВ И ИНЖЕНЕРОВ УЧЕБОЙ ЛАБОРАТОРИИ, НЕОБХОДИМО ОЗНАКОМИТЬСЯ С ПРИНЦИПОМ ДЕЙСТВИЯ И ПРАВИЛАМИ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЭТОГО ПРИБОРА. ПРИ НЕПОСРЕДСТВЕННОМ УЧАСТИИ ЛАБОРАНТА ИЛИ ИНЖЕНЕРА ПРИЗВЕСТИ ВКЛЮЧЕНИЕ ПРИБОРА, ОВЛАДЕТЬ ТЕХНИКОЙ РАБОТЫ НА НЕМ И ПОДОБРАТЬ РЕЖИМ РАБОТЫ.

Установить образец для измерения спектров отражения и произвести на приборе трехкратную запись спектров отражения. (Для измерений отражения используется плоскопараллельная пластинка SiC, одна из граней которой (рабочая) полирована, а другая (нерабочая) шлифована.

Произвести замену образца, установив в кюветную камеру плоскопараллельную пластинку для измерения спектров поглощения (тонкая пластинка с обеими полированными гранями). Произвести трехкратную запись спектра пропускания.
Обработка и анализ экспериментальных данных.
По экспериментально установленному спектру отражения определить коэффициент отражения в области коротких R_∞ и длинных R₀ волн от полосы остаточных лучей.
Используя формулы, связывающие коэффициент отражения и диэлектрическую проницаемость, найти по измеренным R_∞ и R₀ высокочастотную ε_∞ и низкочастотную ε₀ диэлектрические проницаемости.
По формулам, связывающим диэлектрическую проницаемость и показатель преломления, вычислить высокочастотное n_∞ и низкочастотное n₀ значения показателей преломления.

Оценить вклад колебаний кристаллической решетки в диэлектрическую проницаемость и показатель преломления кристалла.

По экспериментально измеренному спектру отражения определить коротковолновую и длинноволновую границы полосы «остаточных лучей» и по этим границам найти частоты оптических фононов.
Найденные значения диэлектрических проницаемостей и частот оптических фононов должны удовлетворять соотношению Лиддена-Сакса-Теллера:

(ω_LO/ω)²=ε₀/ε_∞ (7)

Где ω_LO и ω_TO – частоты длинноволновых продольных и поперечных колебаний кристаллической решетки; ε_беск и ε₀ - низкочастотная и высокочастотная диэлектрические проницаемости кристалла.

Произвести проверку найденных значений ε_беск ;ε₀ ; ω_LO и ω_TO при помощи соотношения (7).
Приняв постоянную затухания γ=0,05; 0,10 и 0,20, по формулам (4); (6) рассчитать спектры ε₁ и ε₂ (или n; k) и R должна содержать три кривых, соответсрвующих различным значениям γ ).
На графике зависимости R(π) представить экспериментальные значения коэффициента отражения, усредненные по всем трем экспериментам.
Вычислить среднеквадратичное расхождение расчетных и экспериментальных спектров отражения (взяв в качестве расчетной кривую R(π), которая наилучшим образом из всех использованных γ отвечает экспериментальным данным). Сравнить полученные результаты с погрешностью изменения R, усредненной по всем трем экспериментам.
Рассчитать спектр коэффициента поглощения α=4πk/λ для SiC в области двух фононных полос поглощения по измеренному спектру коэффициента пропускания Т. Для этого воспользуемся известным выражением, связывающим коэффициент поглощения α с коэффициентом отражения R и пропускания Т плоскопараллельной пластинки, справедливым в случае сильного поглощения.