Лаборатория иши №

II BOB. HISOBLASH USULLARI MASALALARINI DELPHI

DASTURLASH TILIDA YECHISH

§-2.1. TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISH. ILDIZLARNI AJRATISH

Nazariy ma`lumotlar: Bir noma`lumli tenglamalar

f(x)=0 (1.1)
ko`rinishida yoziladi. Bu yerda f(x) - funksiya [a, b] oraliqda uzluksiz. (1.1) tenglamani to`g’ri tenglikka aylantiruvchi ixtiyoriy ξ soni tenglamaning yechimi deb ataladi.
(1.1) tenglamani yechish ikki bosqichdan iborat bo`ladi:
a) Tenglamaning ildizlarini ajratish, ya`ni tenglamaning yagona yechimi mavjud bo`lgan oraliqlarni aniqlash;
b) yechimlarni berilgan aniqlikda hisoblash.
Yechimlarni ajratish. Yechimlarni ajratishning grafik usulida f(x) – funktsiyaning grafigi [a, b] oraliqda quriladi. Funksiya grafigining absissa o`qi bilan kesishadigan nuqtalari tenglamaning taqribiy yechimlari hisoblanadi. Shunday usul bilan aniqlangan oraliqda tenglamaning yagona yechimi yotadi. Bu usul bizning ishimiz mavzusiga kirmagani uchun, uni qaramaymiz.
Yechimlarni ajratishning analitik usulida quyidagi mulohazalardan foydalaniladi:
a) agar f(a)*f(b)<0 bo`lsa, [a, b] oraliqda (1) tenglamaning toq sonli yoki yagona yechimi yotadi;
b) agar f(a)*f(b)>0 bo`lsa, [a, b] oraliqda (1) tenglamaning juft sonli yechimlari yotadi yoki yechimi mavjud bo`lmaydi;
c) agar f(a)*f(b)<0 bo`lib, f΄(x) yoki f΄΄(x) funktsiya [a, b] oraliqda o`z ishorasini o`zgartirmasa, (1) tenglama bu oraliqda yagona yechimga ega.
Y

1.1-rasm.
echimlarni ajratish uchun matematik analiz kursida mashxur teorema mavjud.
Teorema-1.1. Agar uzluksiz f(x) funksiya [a, b] oraliqning chegarviy nuqtalarida turli ishoradagi qiymatlarni qabul qilsa, ya’ni bo'lsa, u hoilda bju oraliqda tenglamaning hech bo’lmaganda bitta yechimi mavjud bo'ladi, ya’ni hech bo’lmaganda shunday bitta ξ soni mavjudki, ξÎ[a, b] uchun f(ξ)=0 bo'ladi. (1.1-rasm)


1.2-rasm
ξ soni yagona bo’ladi, agar [a, b] oraliqda f´(x) hosila mavjud bo’lib, [a, b] intervalda o’z ishorasini saqlasa, ya’ni a lar uchun f´(x)>0 (yoki f´(x)<0) shart o’rinli bo’lsa (1.2-rasm).
Yechimlarni ajratish x=a va x=b chegaraviy nuqtalarda f(x) funksiyaning ishorasini aniqlashdan boshlanadi. So’ngra f(x) funksiyaning bir qator x=α₁, α₂, … , oraliq nuqtalardagi ishorasi aniqlanadi. Bu nuqtalarni f´(x) funksiyaning o’ziga hos qiymatlaridan foydalaniladi .
Agar f(α_k)f(α_k+1)<0 bo'lsa, u holda 1.1-teoremaga ko’ra (α_k, α_k+1) oraliqda f(x)=0 tenglamaning yechimi mavjud bo’ladi. Ammo uning yagomaligini aniqlash uchun biq qator amallarni bajarish lozim. Masalan, bunga ishonch hosil qilish uchun oraliqni ikkiga, to’rtga, sakkizga va hokazo sonlarga bo’lish bu oraliqlarning chegaraviy nuqtalarida funksiya ishorasini aniqlash lozim bo'ladi.
Shuni ta’kidlash joizki, n - darajali

ko’rinishdagi tenglamalar n tadan ko’p bo’lmagan haqiqiy yechimlarga ega bo'ladi. Shuning uchun agar bunday ko’phadlar n+1 marta ishora almashtirsa, u holda barcha ildizlari ajratilgan bo’ladi.
Misol. Quyidagi tenglamaning ildizlarini ajrating:
(1.2)
Yechish. Quyidagi jadvalni to’ldiramiz:

x	f(x)	x	f(x)
-¥	-	1	-
-3	-	3	-
-1	+	+¥	+
0	+

Demak, (2.2.) tenglama uchta haqiqiqy ildizga ega bo'ladi va ular (-3, -1), (0, 1) va (1, 3) oraliqlarda yotadi.

Agar f´(x) uzluksiz hosila mavjud bo'lib,
f´(x)=0
oson hisoblansa, u holda (2.1) tenglamaning ildizlarini ajratish jarayonini taribga solish mumkin. Buning uchun f(x) funksiya uchun hosilasini nolga aylantiruvchi hamda chegaraviy x=a va x=b nuqtalardagi ishoralarni aniqlash kifoya.