Laboratoriya ishi №26. Axborot oqimini segmentlarga ajratish. Dinamik dasturlash. Chiziqli model

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning mavjud usullari

To’g’ri (yoki aniq) usullar yechimni belgilangan qadamlardan so’ng topishga imkon beradi. Iteratsion usullar esa takrorlanuvchi jarayondan foydalanishga asoslangan va yechimni ketma-ket yaqinlashishlardan so’ng olish imkonini beradi.

Kramer usuli

n ta noma’lumli (ixtiyoriy maydon ustidan) n chiziqli tenglamalar sistemasi uchun

sistemaning noldan farqli matritsasini aniqlash orqali yechim quyidagi ko’rinishda tasvirlanadi

(sistema matritsasining i-ustuni ozod hadlar ustuni bilan alamashtiriladi).

Boshqacha qilib aytganda Kramerning quyidagicha shakllantirish mumkin: xohlagan c₁, c₂, …, c_n koeffitsiyentlar uchun quyidagi tenglik o’rinlidir:

Ushbu ko’rinishdagi Kramer formulasi shubhasiz o’rinli hisoblanadi. Bunda noldan farqli, bunda hatto sistemaning koeffitsiyentlari butunlik halqasining (sistemaning aniqlovchisi koeffitsiyentlar halqasida hatto nolning bo’luvchisi bo’lishi ham mumkin) elementlari bo’lishi ham shart emas. Shuningdek, va larning to’plami yoki larning to’plami sistemaning koeffitsiyentlar halqasi elementlaridan tashkil topmagan, ushbu halqadan farqli biron moduldan tashkil topgan deb hisoblash mumkin. Ushbu ko’rinishda Kramer formulasidan Grama va Lemmi Nakayama formulalarining aniqlovchi dalil formulasi sifatida foydalaniladi.

Matritsali usul

Yechimning matritsali usuli (teskari matritsa usuli orqali yechish) nolli bo’lmagan (ненулевым) aniqlikdagi chiziqli algebraic tenglamalar sistemasi uchun quyidagicha bo’ladi.

n ta noma’lumli (ixtiyoriy maydon ustidan) chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

U holda uni matritsa ko’rinishida yozish mumkin:

AX=B, bunda A – sistemaning asosiy matritsasi, B va X – mos ravishda ozod hadlar ustuni va sistemaning yechimi:

Ushbu matritsali tenglikni chap tomondan A matritsaga teskari bo’lgan A^-1 matritsaga ko’paytiramiz: A^-1(AX)=A^-1B.

Bundan A^-1A=E, hosil bo’ladi X=A^-1B. bu tenglikning o’ng qismi berilgan sistemning yechimlari ustunini beradi. Ushbu metodni qo’llashning sharti (noma’lumlar sonining tengliklar soniga teng bo’lgan holdagi bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemasini yechimining mavjudligi kabi) A matritsaning buzilmasligidir (невырожденность). Buning zarur va yetarli sharti bu A matritsaning aniqlovchisining nolga teng bo’lmasligidir:

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi uchun esa, ya’ni vector B=0 bo’lganda, haqiqatdan teskari qoida: AX=0 sistema arzimas (nolga teng bo’lmagan) yechimga detA=0 holidagina ega bo’ladi.