Квантовая Теория Твердого Тела

Следовательно, классический подход к расчету теплоемкости кристалла неприменим. Но он дает оценку теплоемкости при больших температурах.

Одноатомная линейная цепочка осцилляторов

Рассмотрим одномерную цепочку связанных гармонических осцилляторов [2 стр. 36][3 стр. 58]. Взаимодействие происходит между двумя ближайшими соседями по закону Гука  .

Рисунок 2
Обозначив смещение каждого узла как  , запишем уравнение движения для нулевого узла:

(14)

Если обобщить на узел  , то получим:

(15)

Решение ищем в виде  , тогда, подставив в (15) получим:

(16)

Поскольку все узлы системы равнозначны, то колебание каждого соседнего узла может отличаться лишь фазой. Обозначим эту фазу множителем  , тогда смещение соседних узлов будет связано соотношением:   , и выражение (16) примет вид:

(17)

Тогда решение уравнения (15) для узла   будет иметь вид:

(18)

где   – величина обратная   называется волновым числом или волновым вектором. Выразим   из выражения (17) и получим закон дисперсии  :

(19)

Из выражения (18) видно, что если значения   или   будут комплексными, то смещения будут экспоненциально расти или затухать, что противоречит устойчивому состоянию. Тогда, учитывая, что значения   и   действительны, и исходя из (19) можно построить закон дисперсии для одноатомной линейной цепочки (Рисунок 3).

Рисунок 3
Видно, что при малых значениях   зависимость   линейна:

(20)

Т.е. когда длина волны много больше, чем расстояние между узлами  , то линейная цепочка ведет себя так же как непрерывная упругая среда. Если длина волны станет сравнима с  , то групповая скорость   будет отличаться от скорости волны и обратится в при  , что свидетельствует об образовании стоячих волн.
Бесконечную цепочку можно ограничить конечным числом узлов  . При этом необходимо ввести какие-то граничные условия. Одним из таких условий является периодическое условие Борна-Кармана. При этом условии последний элемент цепочки должен быть связан с первым посредством упругой связи, аналогичной связи между соседними узлами. То есть:

(21)

Исходя из (18) и (21) запишем:

(22)

Если в выражении (18) к   прибавить число кратное  , то значение   не изменится в силу периодичности этой функции. Следовательно, существует всего   различных значений  , которые бы удовлетворяли условию (22) и определяли   различных функций  . Это подтверждает и тот факт, что у одномерной цепочки из   элементов существует   степеней свободы, которые определяют   независимых мод колебаний, которые в свою очередь определяются своим волновым числом  . Выберем эти значения   в интервале от   до  . Такой интервал называют зоной Бриллюэна линейной цепочки осцилляторов.

Систему из   уравнений движения (15) можно привести к каноническому виду введя независимые обобщенные координаты   [4 стр. 9]. Сделаем замену переменных и определим смещение каждого узла как сумму произведений обобщенной координаты на фазовый множитель:

(23)

где суммирование производится по всем узлам цепочки, волновое число   определяется выражением (22). Если подставить выражение (23) в (15), то получим уравнение:

(24)

где   определяется выражением (19). В силу независимости переменных   можно убрать знак суммирования и записать   независимых уравнений для каждого значения  :

(25)

Это уравнение – есть уравнение движения гармонического осциллятора, при этом оно по определению имеет два линейно независимых решения. Из них нужно выбрать только одно решение, при котором смещение   в выражении (23) будет действительной величиной. Следовательно, получим   независимых решений для обобщенных координат  . Такие координаты еще называются нормальными координатами.

Список литературы

1. Ландау, Лев Давыдович и Лифшиц, Евгений Михайлович. Теоретическая физика. Том VII. Теория упругости. Москва : Наука, 1987.
2. Блатт, Франк. Физика электронной проводимости в твердых телах. Москва : Мир, 1971.
3. Ашкрофт, Нейл и Мермин, Дэвид. Физика твердого тела. Том 2. Москва : Мир, 1979.
4. Ландау, Лев Давыдович и Лифшиц, Евгений Михайлович. Теоретическая физика. Том I. Механика. Москва : Наука, 1988.