Квантовая хромодинамика

2. Формулировка КХД (квантовая хромодинамика)

2.1. КХД простыми словами

Квантовая хромодинамика начинается с того, что мы постулируем, что каждый кварк обладает новым внутренним квантовым числом, условно называемым цветовым зарядом, или просто цветом. Термин «цвет», конечно же, не имеет никакого отношения к оптическим цветам и введён исключительно для целей популяризации. Дело в том, что инвариантная в цветовом пространстве комбинация есть сумма трёх различных цветов. Это напоминает то, что сумма трёх основных оптических цветов — красного, зелёного и синего — дает белый цвет, то есть бесцветное состояние. Именно в этом смысле базисные векторы в цветовом пространстве часто называют не первый, второй, третий, а «красный» (к), «зелёный» (з) и «синий» (с). Антикваркам соответствуют анти-цвета (ак, аз, ас), причём комбинация «цвет + антицвет» тоже бесцветна. Глюоны же в цветовом пространстве есть комбинации «цвет-антицвет», причём такие комбинации, которые не являются инвариантными относительно вращений в цветовом пространстве. Таких независимых комбинаций оказывается восемь, и выглядят они следующим образом:
к-аз, к-ас, з-ак, з-ас, с-ак, с-аз, (к-ак − з-аз)/ , (к-ак + з-аз − 2с-ас)/
Например, «синий» кварк может испустить «синий-антизелёный» глюон и превратиться при этом в «зелёный» кварк.

2.2. Лагранжиан КХД

Новая внутренняя степень свободы, цвет, означает, что кварковому полю приписывается определённый вектор состояния qⁱ единичной длины в комплексном трёхмерном цветовом пространстве C(3). Вращения в цветовом пространстве C(3), то есть линейные преобразования, сохраняющие длину, образуют группу SU(3), размерность которой равна 2·3²−3²−1=8.
Поскольку группа SU(3) связана, все её элементы можно получить экспоненциированием алгебры ASU(3). Следовательно, любое вращение в C(3)

можно представить в виде U = exp(ic_at^a), где 3×3 матрицы t^a (a = 1 … 8) называются матрицами Гелл-Манна и образуют алгебру ASU(3). Поскольку матрицы Гелл-Манна не коммутируют друг с другом, , калибровочная теория, построенная на группе SU(3), является неабелевой (то есть является теорией Янга — Миллса).
Далее используется стандартный принцип калибровочной инвариантности. Рассмотрим лагранжиан свободного кваркового поля

Этот лагранжиан инвариантен относительно глобальных калибровочных преобразований кварковых и антикварковых полей: , где c_a не зависят от координат в обычном пространстве.
Если же потребовать инвариантность относительно локальных калибровочных преобразований (то есть при c_a(x_μ)), то приходится вводить вспомогательное поле . В результате, лагранжиан КХД, инвариантный относительно локальных калибровочных преобразований, имеет вид (суммирование по ароматам кварков также предполагается)

где тензор напряжённостей глюонного поля, а есть само глюонное поле.
Видно, что этот лагранжиан порождает наряду с вершиной взаимодействия кварк-антикварк-глюон и трёхглюонные и четырёхглюонные вершины. Иными словами, неабелевость теории привела к взаимодействию глюонов и к нелинейным уравнениям Янга — Миллса.