Kvadrat matritsa determinanti

Kvadrat matritsa determinanti

Determinant tushunchasidan dastlab chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda foydalanilgan bo‘lib, keyinchalik determinantlar matematikaning bir qancha masalalarini yechishga, jumladan xos sonlarni topishga, differensial tenglamalarni yechishga, vektor hisobiga, keng tatbiq etildi

Matritsaning determinanti A kvadrat matritsani tavsiflovchi son hisoblanadi va u tizimlarning echimi bilan chambarchas bog’liq chiziqli tenglamalar... A matritsaning determinanti yoki bilan belgilanadi. N tartibli har qanday A kvadrat matritsa ma’lum bir qonunga muvofiq, bu matritsaning n-tartibining determinanti yoki determinanti deb nomlangan ma’lum bir songa mos keladi. Ikkinchi va uchinchi darajadagi determinantlarni ko’rib chiqing
Matritsa berilgan

,

Keyin uning ikkinchi tartibli determinanti formula bo’yicha hisoblanadi

.

Misol. A matritsaning determinantini hisoblang:

Javob: -10.

Uchinchi tartibning determinanti formula bo’yicha hisoblanadi

Misol. B matritsaning determinantini hisoblang

.

Javob: 83.

N -tartibli determinantni hisoblash determinantning xususiyatlari va quyidagi Laplas teoremasi asosida amalga oshiriladi: determinant matritsaning har qanday satr (ustun) elementlari mahsulotlarining yig’indisiga teng. Ularning algebraik qo’shimchalari:

Algebraik to’ldiruvchi element tengdir , determinantdagi i-qator va j-ustunni o’chirish orqali olingan kichik element qaerda.

Kichik matritsa elementi tartibining A matritsasidan i-qator va j-ustunni o’chirish yo’li bilan olingan (n-1)-tartibli matritsaning determinanti deyiladi.

Misol... A matritsaning barcha elementlarining algebraik qo’shimchalarini toping:

.

Javob: .

Misol... Uchburchak matritsa matritsasining determinantini hisoblang:

Javob: -15.

Aniqlovchi xususiyatlar:

1. 
   Agar matritsaning har qanday satri (ustuni) faqat nollardan iborat bo’lsa, u holda uning determinanti 0 ga teng.
   

2. 
   Agar matritsaning har qanday satrining (ustunining) barcha elementlari songa ko’paytirilsa, uning determinanti shu songa ko’paytiriladi.
   

3. 
   Matritsa ko’chirilganda uning determinanti o’zgarmaydi.
   

4. 
   Matritsaning ikkita qatori (ustunlari) almashtirilganda uning determinanti teskari bo’ladi.
   

5. 
   Agar kvadrat matritsada ikkita bir xil satr (ustun) bo’lsa, u holda uning determinanti 0 ga teng.
   

6. 
   Agar matritsaning ikkita satrining (ustunining) elementlari mutanosib bo’lsa, u holda uning determinanti 0 ga teng.
   

7. 
   Bu matritsaning boshqa qator (ustun) elementlarining algebraik qo’shimchalari orqali matritsaning istalgan satr (ustun) elementlari hosilasi yig’indisi 0 ga teng.
   

8. 
   Matritsaning istalgan qator (ustun) elementlariga ilgari bir xil songa ko’paytirilgan boshqa qator (ustun) elementlari qo’shilsa, matritsa determinanti o’zgarmaydi.
   

9. 
   Istalgan qator (ustun) elementlarining algebraik qo’shimchalari orqali o’zboshimchalik bilan hosil qilingan sonlarning yig’indisi, bu satr (ustun) elementlarini raqamlar bilan almashtirish orqali berilgan matritsaning determinantiga teng.
   

10. 
    Ikki kvadrat matritsaning hosilasi determinanti ularning determinantlari hosilasiga teng.
    

Teskari matritsa.

Ta’rif. Agar matritsa kvadrat matritsaga nisbatan teskari deb nomlanadi, agar bu matritsani o’ngga ham, chapga ham ko’paytirilsa, birlik matritsasi olinadi:

.

Ta’rifdan kelib chiqadiki, faqat kvadrat matritsaning teskari tomoni bor; bunda teskari matritsa ham xuddi shu tartibdagi kvadratdir. Agar matritsaning determinanti nolga teng bo’lmasa, unda bunday kvadrat matritsa degeneratsiyalanmagan deyiladi.

Teskari matritsaning mavjudligi uchun zarur va etarli shart: teskari matritsa mavjud (va yagona), agar va faqat original matritsa buzilmagan.

Teskari matritsani hisoblashning birinchi algoritmi:

1. 
   Asl matritsaning determinantini toping. Agar determinant nol bo’lmasa, asl matritsa buzilmaydi va teskari matritsa mavjud.
   

2. 
   A ga ko’chirilgan matritsani toping.
   

3. 
   O’tkazilgan matritsa elementlarining algebraik qo’shimchalarini toping va ulardan qo’shma matritsani tuzing.
   

4. 
   Biz teskari matritsani quyidagi formula bilan hisoblaymiz.
   

5. 
   Biz teskari matritsani hisoblashning to’g’riligini, uning ta’rifiga asoslanib tekshiramiz .
   

Misol.

.

Javob: .

Teskari matritsani hisoblashning ikkinchi algoritmi:

Matritsaning teskarisini matritsa satrlarida quyidagi elementar o’zgarishlarga asoslanib hisoblash mumkin:

Ikki qatorni almashtirish;

Matritsa qatorini noldan boshqa har qanday songa ko’paytirish;

Matritsaning bir qatoriga noldan boshqa har qanday songa ko’paytirilgan boshqa qatorni qo’shish.

A matritsasi uchun teskari matritsani hisoblash uchun matritsani tuzish kerak, keyin elementar transformatsiyalar orqali A matritsani E identifikator matritsasi holatiga keltiring, keyin identifikatsiya matritsasi o’rniga matritsani olamiz. .

Misol. A matritsaning teskarisini hisoblang:

.

Biz B matritsani shaklini tuzamiz:

.

Element = 1 va bu elementni o’z ichiga olgan birinchi qator qo’llanmalar deb nomlanadi. Keling, elementar transformatsiyalarni amalga oshiraylik, buning natijasida birinchi ustun bitta qatorda birinchi qatorda bitta ustunga aylanadi. Buning uchun ikkinchi va uchinchi qatorlarga mos ravishda 1 va -2 ga ko’paytirilgan birinchi qatorni qo’shing. Ushbu o’zgarishlar natijasida biz quyidagilarni olamiz:

.

Biz nihoyat olamiz

.

Qaerda .

Matritsaning darajasi. A matritsaning darajasi eng yuqori buyurtma bu matritsaning nolga teng bo’lmagan voyaga etmaganlar. A matritsaning darajasi rang (A) yoki r (A) bilan belgilanadi.

Bu ta’rifdan kelib chiqadi: a) matritsaning martabasi uning kichikligidan oshmaydi, ya’ni. R (A) m yoki n sonlarining minimalidan kam yoki unga teng; b) r (A) = 0, agar va faqat A matritsaning barcha elementlari nolga teng bo’lsa; c) n -tartibli r (A) = n kvadrat matritsa uchun va agar A matritsa noaniq bo’lsa.

Misol: matritsalar qatorini hisoblang:

.

Javob: r (A) = 1. Javob: r (A) = 2.

Keling, matritsaning quyidagi elementar o’zgarishlarini chaqiraylik:

1. 
   Nol qatorni (ustunni) bekor qilish.
   

2. 
   Matritsa satrining (ustunining) barcha elementlarini nol bo’lmagan songa ko’paytirish.
   

3. 
   Matritsaning qatorlar (ustunlar) tartibini o’zgartirish.
   

4. 
   Bitta satrning (ustunning) har bir elementiga boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlarini qo’shib, istalgan songa ko’paytiriladi.
   

5. 
   Matritsani almashtiring.
   

Matritsaning elementar matritsasi o’zgarganda matritsa darajasi o’zgarmaydi.

Misollar: Matritsani hisoblang

; ;

Misol: Matritsani hisoblang , qaerda

; ; ; E – identifikatsiya matritsasi.

Misol: Matritsaning determinantini hisoblang

.

Javob: 160.

Misol: A matritsaning teskari tomoni borligini aniqlang va agar shunday bo’lsa, uni hisoblang:

.

Javob:.

Misol: Matritsaning darajasini toping

.

Javob: 2.

2.4.2. Chiziqli tenglamalar tizimi.

N o’zgaruvchiga ega bo’lgan m chiziqli tenglamalar tizimi quyidagi shaklga ega:

,

Bu erda o’zboshimchalikli koeffitsientlar va tenglamalarning erkin shartlari deb nomlangan ixtiyoriy sonlar. Tenglama tizimiga yechim n sonlar to’plamidir (), almashtirilganda tizimning har bir tenglamasi haqiqiy tenglikka aylanadi.

Tenglama tizimi izchil deb nomlanadi, agar u kamida bitta echimga ega bo’lsa, echim bo’lmasa mos kelmaydi. Birgalikda tenglamalar tizimi, agar u yagona echimga ega bo’lsa, aniq, bir nechta yechimga ega bo’lsa, noaniq deb ataladi.

Kramer teoremasi:”X” o’zgaruvchilar koeffitsientlaridan tashkil topgan A matritsaning determinanti bo’lsin va bu matritsaning j-ustunini erkin atamalar ustuniga almashtirish orqali A matritsadan olingan matritsa determinanti bo’lsin. Keyin, agar, unda tizim formulalar bilan aniqlangan yagona yechimga ega: (j = 1, 2,…, n). Bu tenglamalar Kramer formulalari deb ataladi.

Misol. Kramer formulalari yordamida tenglamalar tizimini hal qiling:

Javoblar: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)